彭崇梅 张启伟 李元兵

(同济大学桥梁工程系，上海200092)

拉索是中承式、下承式拱桥与索支承桥梁的重要受力构件，由于施工和使用过程中的磨损、老化、腐蚀、断丝等原因，相当一部分拉索在成桥后不久便出现严重损伤，甚至导致桥梁坍塌．半平行钢丝索是实际工程中拉索的主要应用形式，索体钢丝按同心同向作轻度扭绞，并用缠包带反向紧密缠绕索体，最外层热挤HDPE护套而成．目前，工程实践中采用的基于平行钢丝假定的并联模型，忽略了钢丝间拉力不均匀分布和接触摩擦的影响，且不能进一步用于拉索的腐蚀、断丝等病害的研究，而半平行钢丝索的其他研究很少．

Matteo等［1］基于平行钢丝假定的延性模型和延-脆性模型，采用Monte-Carlo方法研究了Williamsburg桥主缆的安全系数．Faber等［2］基于并联模型，采用概率方法研究了半平行钢丝索的静力拉伸强度和疲劳寿命．上述研究是基于平行钢丝假定的并联模型，未考虑钢丝间拉力的不均匀分布、接触、摩擦等因素，且研究文献较少，而与半平行钢丝索几何相近的钢绞线(钢丝绳)或多股螺旋弹簧的研究则取得了一定的进展．Raoof等提出了半连续模型，用来研究钢丝绳的静力、弯曲和疲劳特性［3-5］，该模型假定“绳股中的每层上具有足够的钢丝来使其特性取平均值，各钢丝层可被视作连续的正交各向同性薄层”;Blouin和 Cardou［6］将钢丝绳视作厚壁圆筒，基于连续介质力学建立了半连续模型;半连续模型不能准确计算各层钢丝间的接触力和轴向拉力，且不能计算非圆形钢丝层构造(如半平行钢丝索)的索体受力性能．因此，一些学者基于Love［7］曲杆理论，建立了由单根钢丝集成的离散模型．Costello等［8-9］、LeClair等［10］根据单根钢丝的基本方程，对钢绞线和钢丝绳进行了研究，但均忽略了摩擦滑移的影响;Jiang等［11］学者则通过建立不同股和丝的有限元模型对多层钢丝绳进行了研究;王桂兰等［12］建立了钢丝绳类金属捻线成形过程中的有限元模型．马军等［13］通过有限元模拟了钢丝绳在拉伸变形过程中股内钢丝间的载荷分布情况;萧红［14］则在螺旋弹簧的研究方面作了一定的工作．

鉴于半平行钢丝索具有螺旋外形的特点及本身构造的特殊性，内部钢丝接触复杂，既不能采用并联模型，也不能直接应用钢绞线研究中的现象和规律，且用以描述钢丝间接触、摩擦和滑移的物理量也很难通过试验方法获得，从而难以准确描述多层半平行钢丝索的受力行为．文中基于Love［7］曲杆理论，考虑钢丝弯矩、扭矩、剪力和泊松效应的影响，推导了静力拉伸荷载作用下的半平行钢丝索非线性控制方程，通过数值计算和参数分析重点讨论了螺旋角对半平行钢丝索轴力、扭矩、轴向刚度和钢丝间拉力分布的影响．

1 基本方程

考虑一n层半平行钢丝索横截面，索体钢丝根据螺旋半径进行分层，拉索钢丝分层如图1所示，中心钢丝为0层，半径为R1，其余各层依次由里向外进行编号，半径均为R，各层钢丝螺旋半径为各外层钢丝中心相对螺旋中心的距离，以ri表示，图1中数字表示各层钢丝的编号，如编号5对应钢丝层螺旋半径为r5．

图1 半平行钢丝索截面分层示意图Fig．1 Layered schemes of cross section for semi parallel wire cable

推导方程之前，假定:①钢丝间无相对滑移，钢丝间接触变形忽略不计;②荷载作用下，考虑泊松效应引起的螺旋半径变化．

［9］，单根钢丝的受力如图2所示，其中G、G'和H为弯矩分量和扭矩分量，K、K'和Θ为单位长度外部弯矩和扭矩分量，N、N'为剪力分量，T为轴向拉力分量，X、Y、Z为单位长度外部荷载分量．

图2 单根螺旋钢丝受力图Fig．2 Free-body diagram of a helical wire

第i层每根钢丝对应的曲率分量(ki和ki')和扭率分量(i)可表示为

式中，αi表示第i层钢丝螺旋角度．

轴向荷载作用下，螺旋角和螺旋半径的变分为δαi和δri，则相应的曲率和扭率分量的变分为

假定弧长为si的螺旋线在中心线上的投影为li，相应的圆心角变化为φi，则存在如下几何关系:

相应的圆心角和螺旋投影的变分δφi和δli为

半平行钢丝索的轴向应变为ε=δli/li，螺旋钢丝应变为ξi=δsi/si，螺旋钢丝扭率又可表示为i=δφi/li，则方程(4)和(5)可表示为

忽略钢丝间的接触变形，考虑泊松效应对螺旋半径变化的影响，则螺旋半径的变分可表示为式中，νj为第j层钢丝的泊松比．由于半平行钢丝排列的特殊性，式(8)中内层钢丝对外层钢丝螺旋半径的影响取内层半径变化的平均值进行简化．

参考文献［9］，第i层单根钢丝对应的弯矩分量Gi、和扭矩分量 Hi可表示为

式中:E为钢丝弹性模量;Iyi为钢丝截面抗弯惯性矩，Ci为钢丝扭转刚度，对圆形截面钢丝为钢丝半径．

剪力分量Ni、N'i，单丝轴向拉力分量Ti和单位长度外部荷载分量 Xi、Yi、Zi可表示为

式中，Ai表示单根钢丝截面积，对于圆形截面钢丝，Ai=．

总轴力和总扭矩可表示为

式中，mi表示第i层钢丝总数．

2 方程的求解

半平行钢丝索中钢丝按同心同向作轻度扭绞，各层钢丝的扭转角度相同，扭率相等，即1=2=…=i=…= ．对于给定的中心钢丝轴向应变ε和扭率分量 ，先假定螺旋钢丝半径变化量δri为某一量值，代入方程(6)和(7)，可得 δαi和 ξi，将新的 ξi代入δri表达式，得到新一轮的 δri值，再代入方程(6)和(7)，如此循环迭代，直到相邻两次循环的δri变化值小于给定误差为止．将上述计算得到的δαi和δri代入式(2)，得到曲率和扭率分量的变分;代入式(9)-(12)，即可得到索体内各层钢丝的内力分量和总轴力、总扭矩．整个过程可通过编程实现．

3 模型验证与参数分析

为验证模型和程序的正确性，参考文献［9］，以单层钢绞线算例，钢丝层数n为1层，R1为2．616mm，R 为2．565mm，则螺旋半径 r1=R1+R=5．181 mm，螺旋角 αi为82．51°，泊松比 ν为 0．25，钢丝弹模 E为196．5GPa，钢绞线轴向应变 ε 为 0．003，扭率分量 为0．将上述参数代入式(1)-(12)，可得F=83．17kN，参考文献［9］中结果为 83．65 kN，误差为0．57%．计算结果验证了模型和程序的正确性．

为讨论各参数取值对半平行钢丝索的影响，参考桥梁工程中半平行钢丝索的技术参数，取Ф5-127的半平行钢丝索进行讨论，钢丝直径取5mm，钢丝弹性模量E 为197．9GPa，泊松比 ν为0．3，总层数n为15．

为讨论螺旋角对索内钢丝受力的影响，假定索体不产生扭转，即 =0，钢丝应变取ε=0．001，变化螺旋角(45°～90°)，可得拉索总轴力、总扭矩和单根螺旋钢丝轴力随螺旋角变化的关系曲线，如图3、4所示．

图3 总轴力、总扭矩与螺旋角的关系曲线Fig．3 Variation curves of total axial force and total torque with he-lical angle change

图4 单根螺旋钢丝轴力与螺旋角的关系曲线Fig．4 Variation curves of axial force with helical angle for a wire

由图3和4可以看出，随着螺旋角的增大，拉索总轴力和螺旋钢丝轴向力均随之增大，增长速度随着螺旋角的增大而逐渐变缓;图3(b)中总扭矩的变化则经历了一个先增加后降低的过程，螺旋角为60°附近时，总扭矩达到峰值;而螺旋角为90°时，轴向荷载作用下总扭矩为0．

假定钢丝索轴力不变时，取总轴力F为1000kN，拉索轴向应变ε随螺旋角变化的关系曲线如图5所示．为研究拉伸过程中弯扭变形能对拉索的影响，取单位长度拉索，拉索拉伸变形能和弯扭变形能可表示为

对比拉伸变形能和弯扭变形能所占的百分比，可以量化弯扭变形能的影响．图6为拉索能量百分比η随螺旋角的变化曲线．

图5 轴向应变随螺旋角的变化曲线Fig．5 Variation curves of axial strain with helical angle

图6 能量百分比随螺旋角的变化曲线Fig．6 Variation curves of energy ratio with helical angle

由图5可以看出，当总轴力一定时，拉索轴向应变随螺旋角的增大而减小，且减小的速度逐渐趋缓，其下限值为对应的平行钢丝索应变．由图6可以看出，当螺旋角较小时，钢丝的弯扭变形占主导地位，随着螺旋角的增大，拉伸应变能所占比例逐渐增加，而弯扭应变能逐渐减小，在55°附近，两者所占比例相等，当螺旋角为85°时，弯扭应变能仅占0．07%，可以忽略钢丝弯扭变形的影响．

为讨论不同螺旋角变化，对应半平行钢丝索内螺旋钢丝的轴力不均匀分布，定义钢丝轴力增长幅度 i如下:

不同螺旋角对应的钢丝轴力增长幅度如图7所示．

图7 不同螺旋角下钢丝轴力的不均匀分布曲线Fig．7 Nonuniform distribution curves of tensile force for different helical angle

由图7可以看出，当螺旋角度较小(对应重度扭绞)时，拉索中钢丝不均匀分布较明显，相对于并联模型，钢丝拉力变化幅度为(-6%，1．54%)，但随着螺旋角的增大，拉索中钢丝分布逐渐趋于均匀．对于桥梁用半平行钢丝索扭绞范围(螺旋角86°～88°)，分布基本均匀，钢丝拉力变化幅度为(-0．07%，0．02%)．

轴向荷载作用下，拉索的轴向刚度会降低，为讨论拉索轴向刚度随螺旋角的变化，将总轴力除以拉索横截面积，可得到拉索截面平均轴向应力，平均轴向应力与中心钢丝轴向应变关系曲线对应斜率，可反映拉索轴向刚度，用拉索弹性模量Ec表示如下:

拉索平均轴向应力¯F-轴向应变ε曲线如图8所示．对于给定的螺旋角，索内平均轴向应力与轴向应变关系曲线为线性关系，直线斜率即为拉索弹性模量，随着平行钢丝索螺旋角变小，轴向刚度逐渐降低，且降低的速度逐渐加快．当螺旋角为90°时，拉索弹性模量为197．9GPa，当螺旋角为45°时，拉索弹性模量为68．1GPa，相对于钢丝的弹性模量降幅达65．5%;在桥梁用半平行钢丝索扭绞范围(螺旋角86°～88°)内，由图8内插可得螺旋角为86°时，拉索弹性模量为195．2 GPa，拉索弹性模量最大降低 1．4%．

图8 拉索平均轴向应力-应变曲线Fig．8 The mean stress-strain curves of cable

4 结论

推导了多层半平行钢丝索的静力拉伸模型，通过数值计算和参数分析研究了索体轴力、扭矩、轴向刚度等变化规律，文中模型不仅适用于半平行钢丝索，也适用于单层钢绞线的情况，主要结论如下:

(1)随着螺旋角的增大，拉索总轴力和螺旋钢丝轴向力均随之增大，增长速度随着螺旋角的增大而逐渐变缓;总扭矩的变化则经历了一个先增加后降低的过程，当螺旋角大于85°时，弯扭应变能仅占0．07%，可以忽略钢丝弯扭变形的影响．

(2)当螺旋角度较小(对应重度扭绞)时，拉索中钢丝拉力的不均匀分布较明显，钢丝拉力变化幅度为(-6%，1．54%)，但随着螺旋角的增大，拉索中钢丝分布逐渐趋于均匀．

(3)随着平行钢丝索螺旋角的减小，轴向刚度逐渐降低，且降低的速度逐渐加快，当螺线角为45°时，最多可降低65．5%，对于桥梁用半平行钢丝索扭绞范围，轴向刚度最大降低1．4%．

实际工程中，拉索钢丝间接触变形、由腐蚀、磨损等因素引起的断丝、滑移等均会改变索内钢丝的拉力分布，这些因素的影响值得进一步研究．

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