孙秀华， 吕 诚

(安徽建筑大学数理系，安徽 合肥230022)

0 引 言

在众多国内外学者的努力下，度量空间的各类映射像的刻画得到了系统地研究，并得到大量有意义的结果，其中包括映像，闭映像、cs 映像，s 映像、紧映像及各类序列覆盖映像，极大地丰富了一般拓扑学的内容［1-3］. 然而关于度量空间的可数到一映像所得结论却很少，2007 年刘川等学者引入ℵ0弱基［4］，才得到度量空间的商可数到一映像这一重要刻画. 本文旨在通过推广ℵ0弱基，以进一步探讨度量空间的子序列覆盖可数到一映像.

1 主要结论

文中所论空间均为T1正则的，映射是指连续的满射，N 为自然数. 文中未定义的术语和记号可参看文献［2，5］.

定义1: ρ 称为收敛序列L = {xn:n ∈N}∪{x0}的cs 网，如果在空间X 中对任意包含x0的开集U，都存在P ∈ρ 及m ∈N，使得({xn:n ≥m}∪{x0})⊂P ⊂U［6］.

定义2: 两个序列{xn}n∈N和{yn}n∈N称为共尾，如果存在n0，m0∈N，使得对任意i ∈N，有xn0+i= ym0+i［4］.

定义3: 设映射f:X →Y.

(1)f 称为商映射，若f-1(U)是X 的开子集，则U 是Y 的开子集.

(2)f 称为子序列覆盖映射，若L 是Y 中的收敛序列，那么存在X 中的紧子集K 使得f(K)为L 的子序列［2］.

定义4: 设ρ 是空间的一个覆盖.ρ 称为X 的ℵ0-cs*网，如果ρ =∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}满足:

(1)对任意x ∈X 和n ∈N，ρx(n)是关于有限交封闭并且x ∈∩ρx(n);

(2)在X 中，任意包含x 的开邻域U，对所有n∈N，都存在P ∈ρx(n)使得P ⊂U;

(3)对任意收敛于x 的序列L，都存在n0∈N，使得ρx(n0)为L 的某子列S 的cs 网.

注:显然ℵ0- cs*网ρ 为X 的cs 网.

定理5: 对于空间X，下列条件等价:

(1)X 是度量空间的子序列覆盖可数到一映像;

(2)X 具有点可数ℵ0- cs*网.

证明: (1)⇒(2).令f:M →X 为从度量空间M 到空间X 的子序列覆盖可数到一映射.令β'为M的点可数基. 对任意y ∈M，可以选取βy⊂(β')y为y 在M 中递减的邻域基. 记……