孙秀华， 吕 诚

(安徽建筑大学数理系，安徽 合肥230022)

0 引 言

在众多国内外学者的努力下，度量空间的各类映射像的刻画得到了系统地研究，并得到大量有意义的结果，其中包括映像，闭映像、cs 映像，s 映像、紧映像及各类序列覆盖映像，极大地丰富了一般拓扑学的内容［1-3］. 然而关于度量空间的可数到一映像所得结论却很少，2007 年刘川等学者引入ℵ0弱基［4］，才得到度量空间的商可数到一映像这一重要刻画. 本文旨在通过推广ℵ0弱基，以进一步探讨度量空间的子序列覆盖可数到一映像.

1 主要结论

文中所论空间均为T1正则的，映射是指连续的满射，N 为自然数. 文中未定义的术语和记号可参看文献［2，5］.

定义1: ρ 称为收敛序列L = {xn:n ∈N}∪{x0}的cs 网，如果在空间X 中对任意包含x0的开集U，都存在P ∈ρ 及m ∈N，使得({xn:n ≥m}∪{x0})⊂P ⊂U［6］.

定义2: 两个序列{xn}n∈N和{yn}n∈N称为共尾，如果存在n0，m0∈N，使得对任意i ∈N，有xn0+i= ym0+i［4］.

定义3: 设映射f:X →Y.

(1)f 称为商映射，若f-1(U)是X 的开子集，则U 是Y 的开子集.

(2)f 称为子序列覆盖映射，若L 是Y 中的收敛序列，那么存在X 中的紧子集K 使得f(K)为L 的子序列［2］.

定义4: 设ρ 是空间的一个覆盖.ρ 称为X 的ℵ0-cs*网，如果ρ =∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}满足:

(1)对任意x ∈X 和n ∈N，ρx(n)是关于有限交封闭并且x ∈∩ρx(n);

(2)在X 中，任意包含x 的开邻域U，对所有n∈N，都存在P ∈ρx(n)使得P ⊂U;

(3)对任意收敛于x 的序列L，都存在n0∈N，使得ρx(n0)为L 的某子列S 的cs 网.

注:显然ℵ0- cs*网ρ 为X 的cs 网.

定理5: 对于空间X，下列条件等价:

(1)X 是度量空间的子序列覆盖可数到一映像;

(2)X 具有点可数ℵ0- cs*网.

证明: (1)⇒(2).令f:M →X 为从度量空间M 到空间X 的子序列覆盖可数到一映射.令β'为M的点可数基. 对任意y ∈M，可以选取βy⊂(β')y为y 在M 中递减的邻域基. 记ρy= {By，i:i ∈N}，其中对任意i ∈N 都有By，i+1⊂By，i.令β =∪{βy:y∈M}，显然β ⊂β'且仍为M 的点可数基. 对任意x ∈X，记f-1(x)= {yn:n ∈N}，令ρx(n)= f(βyn)和ρ = f(β)=∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}. 显然每一ρx(n)关于有限交封闭.设U 是X 中点x 的开邻域，对每一n ∈N，有yn∈f-1(x)，显然yn∈f-1(U)并且存在Byn∈βyn使得yn∈Byn⊂f-1(U). 于是Pyn= f(Byn)∈ρx(n)且x ∈Pyn⊂U.

又f 为子序列覆盖映射，对于X 中收敛于x 的序列L，存在M 中序列K 收敛于yn∈f-1(x)且f(K)为L 的子序列.由于在M 中βyn为yn的邻域基，故ρx(n)= f(βyn)为L 的子序列f(K)的cs 网.

再由f 为可数到一映射及β 的点可数性，易得知ρ 仍为点可数的.

综上，ρ 为X 的点可数ℵ0- cs*网.

(2)⇒(1).

令ρ =∪{ρx(n):x ∈X，n ∈N}为X 的点可数ℵ0-cs*网，其中对任x ∈X，由于ρx(n)对有限交封闭，不妨设ρx(n)= {Px(n，m):m ∈N}且对任m ∈N 有Px(n，m +1)⊂Px(n，m).显然对任意n ∈N，ρx(n)= {Px(n，m):m ∈N}为点x 的网.记ρ = {Pα:α ∈I}，赋予I 离散拓扑，且对任意n ∈N，令Ii为I 的一个拷贝. 令M = {α = (αi)∈:存在点xα∈X 及某n ∈N，使得{Pαi}i∈N与ρxα(n)共尾并且{Pαi}i∈N构成点xα的网}.于是M作为Iω的子空间，可度量化. 由于X 为T1正则空间，可定义映射f:M →X 使得f(α)= xα. 又由ρx(n)为点x 的网，可知f 为满射.

f 为连续映射:在X 中，令U 为xα的开邻域且f(α)= xα，由α = (αi)及{Pαi}i∈N构成xα的网，故存在k ∈N 使得Pαk∈{Pαi}i∈N并且Pαk⊂U.令V= {γ = (γi)∈Ii:γk= αk}∩M，则V 为α 在M 中的开邻域且f(V)⊂Pαk⊂U.故f 连续.

f 为可数到一映射，由M 的定义及ρ 的点可数性易知.

下证f 为子序列覆盖映射:由于ρ 为ℵ0- cs*网，对于X 中任意收敛于x 的序列L，都存在子序列S 及n0∈N 使得ρx(n0)= {Px(n0，m):m ∈N}为S 的cs 网.不妨设S = {xk:k ∈N}∪{x}，且xk两两不同. 通过以下方式选取可数个集族{ρi:i ∈N}:对i = 1，若S ⊂Px(n0，1)，则取ρ1= {Px(n0，1)}，否则对每一xk∈SPx(n0，1)，任取ρxk(nk)，由于空间具有T1正则性，故存在开集U 使得xk∈U 且U ∩(S{xk})= Φ，于是存在Pxk(nk，mk)∈ρxk(nk)使得Pxk(nk，mk)∩(S{xk})= Φ，取ρ1={Px(n0，1)，Pxk(nk，mk)}.

对i = 2，若SPx(n0，2)的点和i = 1 时相同，则取ρ2= {Px(n0，2)，Pxk(nk，mk+1)}，若又有新的xt出现，则可类似选取ρxt(nt)及Pxt(nt，mt)，并选ρ2= {Px(n0，2)，Pxk(nk，mk+1)，Pxt(nt，mt)}.依此类推，选出{ρi:i ∈N}并记ρi= {Pγ:γ ∈Γi}，显然每一Γi仅含有限个指标. 令T = {(γi)∈则T 为紧子集的闭子集，故T 为紧子集.任取α = (αi)∈，则(αi)不能与任一ρxk(nk)或ρx(n0)共尾.由{ρi:i ∈N}的取法可知一定有= Φ，故存在i0∈N，使得.令W= {(βi)∈:对于i ≤i0，有βi= αi}，则W 是中含α 的开子集且W ∩T = Φ.又易证f(T)⊂S 和S ⊂f(T)，即f(T)= S.于是f 为子序列覆盖映射.

引理6: 设映射f:X →Y.

(1)若Y 为序列空间，f 为子序列覆盖映射，则f 为商映射;

(2)若X 为序列空间，f 为商映射，则f 为序列商映射［2］.

定理7: 对于空间X，下列条件等价:

(1)X 是度量空间的商可数到一映像;

(2)X 具有点可数ℵ0- cs*网的序列空间;

(3)X 具有点可数ℵ0弱基.

证明: 由定理5 及引理6 易证(1)⇔(2)，文献［4］中已证明(1)⇔(3).

［1］ 林寿.广义度量空间与映射［M］. 北京:科学出版社，1995:30 -41.

［2］ 林寿.点可数覆盖与序列覆盖映射［M］. 北京:科学出版社，2002:15 -21.

［3］ 吕诚，孙秀华. 关于紧覆盖映射的注记［J］. 佳木斯大学学报，2007，25(5):666 -668.

［4］ Liu Chuan，Lin Shou.On Countable-to-One Maps［J］. Topology Appl.，2007，154:449 -454.

［5］ Engelking R. General Topology［M］. Warsaw:PWN，1977:44-52.

［6］ Lin Shou，Liu Chuan，Dai Mumin. Images on Locally Separable Metric Spaces［J］. Acta Mathematica Sinica，New series，1997，13(1):1 -8.