麻志洪 陈亚琳

(浙江师范大学数理与信息工程学院 浙江 金华 321004)

1 过山车运动问题

日常生活中，我们经常有看到游乐园里的过山车从轨道上进行360°的大旋转，极为惊险刺激.但是，如果仔细思考，我们可以抽象出这样一个问题.

在忽略空气阻力条件下，过山车在轨道的上半部分某一点处速度至少达到多少时，过山车不会从该点掉下？

现将物理现象抽象为物理问题.如图1所示，位于竖直平面内的光滑圆形轨道，半径为R，一质量为m的小球在圆形轨道上运动，若小球能够通过图中P(x0,y0)位置不掉下(忽略一切阻力)，设此时小球的速度为v，问v至少为多少？

图1

2 多种解法

(1)运用牛顿运动定律求解

设此时轨道对小球的压力为N，小球与坐标轴原点的连线与y轴的夹角为θ.则

其中，N=0为临界状态.

解得

创新点：运用牛顿运动定律形式简单，运算简便，具有相当大的优越性，同时也是学生常用的解法.

(2)运用矢量的方法求解

如图2，假设P点以上轨道不存在，小球将做斜抛运动，根据斜坐标法，斜抛运动可以等效成竖直方向的自由落体运动与沿着v方向的匀速直线运动.

图2

设小球在P点开始做斜抛运动，经过很小的一段时间t(t→0)，则小球沿着v方向的位移矢量大小为R1，同时自由落体的位移矢量大小为R2，R1在竖直方向上的投影为R1cosθ，可得表达式

M(y)=R1sinθ-R2+Rcosθ

同时，与M横坐标相同的N点纵坐标为

要使小球不从轨道上掉下，只需要

M(y)≥N(y)

即得到表达式

(1)

将式(1)展开并化简可得

因为t→0，所以，令

要使该函数在t→0时大于……