宋 琨

(保山学院数学学院，云南 保山 678000)

一类半线性椭圆系统解的存在性

宋 琨

(保山学院数学学院，云南 保山 678000)

研究了一类半线性椭圆系统解的存在性问题。通过使用临界点理论中的鞍点定理，得到了一个该问题解的存在性结果。

半线性椭圆系统；弱解；变分方法

1 问题的提出

考虑如下半线性椭圆系统:

(1)

最近几年, 半线性椭圆系统解的存在性与多解性已经被广泛的研究。文献[1]中研究了如下问题:

(2)

当F是一个偶函数且满足在无穷远处是渐进线性时, 得到了系统(2)无穷多个小能量解的存在性结果。文献[2]在λ=0的情形利用极小极大方法研究了系统(1)弱解的存在性问题。文献[3]中研究了系统(1)弱解的存在性与多解性。当F满足如下的次线性增长性条件时:

(F)

对a.e.x∈Ω一致成立，得到了下面的定理:

定理A[3]假设条件(A1) 和(A2) 成立, 函数F满足条件(F)且有:

(C)

关于x∈Ω一致成立, 那么当λ=λ1时, 系统(1)至少有一个解，λ1表示如下特征问题(WEP)的第一特征值:

(WEP)

条件(F)在证明相应的能量泛函满足Cerami条件和鞍点定理的几何特征时发挥着极其重要的作用。这一类型的条件对非线性项的限制很强，在实际的应用中, 可能有很多的函数并不满足条件(F)。因此, 一个自然的问题就是: 如果此时不满足条件(F), 问题(1) 是否仍然存在弱解? 能否找到更一般的条件来保证问题(1)弱解的存在性? 受文献[4- 5]的启发, 笔者利用对非线性项更一般的假设条件, 给出系统(1)的一个新的解的存在性结果。

2 主要结果

首先，做如下的假设条件:

3 变……

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