段彦峰，陈国龙，武成伟(淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000)

紧致性定理在近世代数中的应用

段彦峰，陈国龙，武成伟(淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000)

模型论中紧致性定理在代数中有很广泛的应用。用紧致性定理证明了若L中的理论Τ有任意大特征的整环或除环模型，则Τ有特征为0的整环或除环模型；若一个语句φ在任意一个特征为零的整环或除环中为真，则对任意的自然数n，存在素数pgt;n，使φ在特征为p的整环或除环中真。

模型论；紧致性定理；整环；除环

1 一阶形式语言及理论

定义1[1]设Τ是L中的一个语句集，则也称Τ是L的一个理论。

定义2[1]设Τ是L中的一个理论，μ是L一个模型，如果对每个σ∈Τ都有μ满足σ，则称μ是Τ的一个模型。

定义3[1]形式系统L的一个理论Σ称为不和谐，如果对L中的每一个公式都能由Σ推出；否则称Σ是和谐的。

2 基本概念

定义4设L={+,·,0,1}，+,·是二元函数符号，0,1是常量符号，μ是L的一个模型，Γ是由下列语句组成的理论：

1)(x+y)+z≡x+(y+z) (加法结合律) ;

2)(x·y)·z≡x·(y·z)(乘法结合律);

3) ∀x，∃y，使y+x≡0∧x+y≡0(有逆元);

4)x+y≡y+x(加法交换律);

5)x+0≡x∧0+x≡x(0是加法单位元)；

6)1·x≡x·1(1是乘法单位元)；

7)x·(y+z)≡x·y+x·z;(y+z)·x≡y·x+z·x(分配律)；

8)x·y≡0→x≡0∨y≡0；

9)x·y≡y·x(乘法交换律)；

10)1≠0；

11)x≠0，∃y，使x·y≡1。

若μ满足1)～9)，则称μ是整环；若1)～11)中，除9)外，μ都满足，则称μ是除环；若μ满足1)～11)，则称μ是域。

注：由文献[2-3]知整环、除环、域都是无零因子幺环，因此，整环、除环、域模型都满足定义5。

引理1[1]设Τ是语言L中的理论，则Τ为和谐的充分必要条件是Τ有模型。

引理2[1](紧致性定理)L中的一个理论Τ有模型的充分必要条件是的Τ每一个有限子集都有模型。

3 主要结论

定理1设L={+,·,0,1}，L中的理论Τ有任意大特征的整环模型，则Τ有特征为0的整环模型。

证明令Σ=Τ∪Γ∪{p·1≠0,p是任意素数}，其中Γ是整环公理，令Σ′是Σ的任意一个有限子集，则Σ′中至多含有有限多个p·1≠0(p为素数)，取一个素数q大于所有上述的p，由题设可知Τ有一个特征为q的整环模型，由环论知识可知，这个模型也是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每个有限子集都有模型，由紧致性定理Σ有模型μ，由Σ的设法和定义5可知这个模型μ是Τ的特征为零的整环模型。

推论1设L={+,·,0,1}，L中的理论Τ有任意大特征的除环模型，则Τ有特征为0的除环模型。

证明令Σ=Τ∪Γ∪{p·1≠0,p是任意素数}，其中Γ是除环公理，令Σ′是Σ的任意一个有限子集，则Σ′中至多含有有限多个p·1≠0(p为素数)，取一个素数q大于所有上述的p，由题设可知Τ有一个特征为q的除环模型，由环论知识可知，这个模型也是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每个有限子集都有模型，由紧致性定理Σ有模型μ，由Σ的设法和定义5可知这个模型μ是Τ的特征为零的除环模型。

推论2设L={+,·,0,1}，L中的理论Τ有任意大特征的域模型，则Τ有特征为0的域模型。

推论2的证明与定理1和推论1的证明类似。

定理2一个语句φ在任意一个特征为零的整环中为真，则对任意大的自然数n，都存在素数pgt;n，使φ在特征为p的整环中真。

证明 用反证法证明。假设存在自然数n，对任意的素数pgt;n，φ在特征为p的整环中都假。设Σ={φ}∪Γ∪{p·1≠0，p为任意素数}，其中Γ是整环公理，令Σ′是Σ的有限子集，则Σ′中至多含有有限多个p·1≠0(p为素数)，取一个素数q大于所有上述的p，则存在一个特征为q的整环是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每一个有限子集都有模型，由紧致性定理Σ有模型μ，即μ满足Σ，由μ满足Γ∪{p·1≠0,p为任意素数}知μ是一个整环模型，由μ满足{φ}知φ在μ中假，这与φ在任意一个特征为0的整环中真相矛盾。

推论3一个语句φ在任意一个特征为零的除环中为真，则对任意大的自然数n，都存在素数pgt;n，使φ在特征为p的除环中真。

证明用反证法证明。假设存在自然数n，对任意的素数pgt;n，φ在特征为p的除环中都假。设Σ={φ}∪Γ∪{p·1≠0，p为任意素数}，其中Γ是除环公理，令Σ′是Σ的有限子集，则Σ′中至多含有有限多个p·1≠0(p为素数)，取一个素数q大于所有上述的p，则存在一个特征为q的除环是Σ′的模型，由Σ′的任意性可知Σ的每一个有限子集都有模型，由紧致性定理Σ有模型μ，即μ满足Σ，由μ满足Γ∪{p·1≠0,p为任意素数}知μ是一个除环模型，由μ满足{φ}知φ在μ中假，这与φ在任意一个特征为0的除环中真相矛盾。

推论4一个语句φ在任意一个特征为零的域中为真，则对任意大的自然数n，都存在素数pgt;n，使φ在特征为p的域中真。

推论4的证明与定理2和推论3的证明类似。

[1]王世强.模型论基础[M].北京：科学出版社，1987.

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社，2005.

[3]聂灵沼，丁石孙.代数学引论[M].北京:高等教育出版社，2005.

[编辑] 洪云飞

O152

A

1673-1409(2012)05-0009-02

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.05.004

2012-02-20

安徽省高校自然科学研究重点项目(2005KJ032ZD)。

段彦峰(1978-)，男，2002年大学毕业，硕士生，中教二级，现主要从事数理逻辑及应用方面的教学与研究工作。