●

(城峰中学 浙江仙居 317300)

立足教材拓展能力
—— 一道课本习题的探究与拓展

●郑冬连

(城峰中学 浙江仙居 317300)

教材是教师从事教学的依据，也是学生获得知识的主要渠道．课本上的习题，往往都具有一定的典型性．作为教师，要认真研究教材，抓住课本中的典型习题，引导学生从不同的角度思考，激活学生的思维．这不仅加强了知识的落实，更重要的是，培养了学生思维的灵活性、发散性、广阔性和批判性等．这种以知识为载体、培养能力为手段、提高思维为目标的教学方法正是新课改所倡导的理念．更重要的是这种教学方法能将学生从题海中解放出来,真正提高学生获取知识的能力．这里仅以人教版《数学》必修4第2章平面向量复习参考题B组第5题进行探索，旨在抛砖引玉．

图1

探究1例1有哪些证法？

分析要证△P1P2P3为正三角形，只需证△P1P2P3的3条边相等或△P1P2P3的3个内角相等或△P1P2P3的重心、垂心、外心、内心这4个心中有2个心重合即可．

即

又因为

同理可得

从而

∠P1OP2=∠P2OP3=∠P3OP1，

△P1OP2≌△P2OP3≌△P1OP3，

因此

故△P1P2P3为正三角形．

由方法1知

故

同理

故△P1P2P3为正三角形．

所以

方法4证明点O既是外心又是垂心.由已知得

亦即

OP2⊥P3P1，

同理可得

OP1⊥P3P2，

探究2例1能否推广或变换？

拓展1将例1中的3个向量改为4个向量，结论如何？

分析由图2知四边形P1P2P3P4不一定是正方形，但一定是矩形.

且

OM⊥P1P4，ON⊥P2P3.

△MOP4≌△OP2N，

即

∠MOP4=∠P2ON，

从而P2P4为⊙O的直径，同理P2P3也为⊙O的直径，故P1P2P3P4为矩形．

图2 图3

拓展2将例1中的向量推广为更一般的情形，结论又如何？

(1) 若推广为2n(n≥3且n∈N)个向量，显然P1P2…Pn不一定为正2n边形，如图3所示．

图4

下面以五边形为例……