☉湖北省武汉市吴家山第三中学 吴 波

初中阶段，涉及到“最”值问题的定理、性质有三个：1.两点之间，线段最短，以及其派生出来的三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；2.二次函数的最大值和最小值；3.垂线段最短.纵观近年相关中考题，抛物线中的最值问题，大约涉及以下四个方面：线段最长、面积最大、线段之和最小、线段之差最大，前面二者可转化成用“二次函数最值”解决，后二者常用轴对称转化成用“两点之间，线段最短”来解决.本文拟以去年山东两个地方中考题为例，叙述架构在抛物线上的最值问题，及可能的变式.为与本文所述最值相关，故将原题中无关问题舍去.

一、线段最长、面积最大，利用“二次函数的最值”解决

例1（2011山东威海）如图1，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B（1，0），交y轴于点E（0，-3）.点C是点A关于点B的对称点，直线y=-x+m过点C，交y轴于点D.点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值.

略解：易求抛物线表达式为y=x2+2x-3，直线CD的表达式为y=-x+5.设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3）.

因为点K为线段AB上一动点，

所以-3≤t≤1.

变式2：如图2，点G在何处时，△GDC的面积最大？

分析1：由于CD为定值，所以高GS最大时，面积最大.

分析2：要高GS最大，可平移直线CD，当其与抛物线只有一个交点时，这个交点即为所求点G.

分析3：过C、D两点作GH的垂线段，将△GDC重新分割组合，则有：

求线段最长和面积最大，关键在于将其表示出来，再用二次函数最值解决.

二、线段之和最小，线段之差……

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