☉浙江省上虞市竺可桢中学 徐 骏

近年来，与线段相关的一类最值问题在各地市中考试卷中大量涌现，并成为近几年中考的热点题型之一.这类问题对知识和技能要求较高，能够考查学生分析问题和解决问题的能力与创新意识.解决此类问题主要借助以下3个知识点：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；（3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.笔者结合近几年中考数学试题，对于常见的线段最值问题，归纳为以下几大块，以帮助学生掌握这类问题的求解方法.

1.一条线段的最值问题

1.1 求一条线段的最大值

例1 如图1，边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是_______.

1.2 求一条线段的最小值

例2 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由.

分析 连接OP（如图4），因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB.取AB的中点C，则AB=2OC.当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4，所以线段AB长度的最小值为4.

例3 如图5，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（ ）.

分析 设M（a，b），则ab=-1.由（a+b）2=a2+2ab+b2≥0，得a2+b2≥-2ab=2.由中心对称性知，MN=2OM=2，所以线段MN的长的最小值

2.两条线段的最值问题

2.1 求两条线段和的最小值

例5 如图8，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分……