☉湖北省宜都市外国语学校 范 鸿

北师大版九年级教材上册P47有一例：如图1，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

分析 由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙6m，如果设梯子的底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙（6+x）m.根据题意，可得方程（x+6）2+72=102.解这个方程得x=

1.提出问题

从上述解题过程中，我们发现梯子底端滑动的距离x=1，这个结论是否具有一般性？即：是不是在任何情况下，底端滑动的距离都大于顶端下滑的距离？如果不是，那么“梯子滑动”是否有一定的规律？

2.猜想规律

带着这个问题，改变本题中的顶端下滑距离的数据，设梯子的底端滑动xm，重新计算：（1）当顶端下滑距离为2m，列出方程（x+6）2+62=102，解得x=2；（2）当顶端下滑距离为3m，列出方程（x+6）2+52=102，解得x=

（3）当顶端下滑距离为4m，列出方程（x+6）2+42=102，解得x=

（4）……

不难发现，当顶端下滑距离为2m时，底端滑动距离也为2m.当梯子顶端下滑距离在增大时，方程中一个加数如62、52、42……在减小，梯子底端滑动的距离在增大.但是，上述的计算结果显示：当顶端下滑距离大于2m时，底端滑动的距离小于顶端下滑的距离.提醒我们关注本题的条件，由于“斜边-直角边=2”，“两直角边之差=2”，到底哪一个是真正的条件，来影响顶端下滑距离和底端滑动距离的大小关系呢？从特殊到一般，如图1，AO＞BO，设AA′=BB′=x，则A′O=AO-x，B′O=BO+x，在Rt△A′OB′中，由勾股定理可知：A′O2+B′O2=A′B′2，于是（AO-x）2+（BO+x）2=AO2+BO2，解得：

我们猜想如下：

（1）若梯子顶端下滑的距离等于两直角边之差，则梯子底端滑动的距离等于顶端滑动的距离；