郑 金

（凌源市职教中心 辽宁 朝阳 122500）

文献［1］利用质心计算公式导出重心位置坐标跟水面高度的关系式，然后求导数得出重心位置的最小值，其解题过程和结果都是正确的，但在求极值时两次对分式求导数，难度较大，而且所得结果不是最终答案，还需进一步化简.那么除了原解以外，是否还有其他方法呢？现对上述问题进行探讨.

原题：如图1所示，一个饮料杯装满水，杯的底部有一小孔，在水从小孔不断流出的过程中，杯连同杯中水的共同重心将

A.一直下降 B.一直上升

C.先升后降 D.先降后升

图2

图1

原解：建立空间直角坐标系如图2所示，假设饮料杯的质量为m，高度为h，杯底的半径为r，水的密度为ρ，当水面到杯底的高度为l时，水的质量为M＝ρπr2l由质心公式得整体重心的位置为

用求导数的方法得出的重心位置的最小值为

这个结果显得非常复杂，其实还可化简为

下面再给出两种简单解法.

解法1：质心坐标法

可知，整体重心的位置为

把M＝ρπr2h代入得

可利用判别式求极值，需把函数关系式变形为关于l的一元二次方程的形式，由（1）式得

因重心最低的位置只有一个，则对应的l值只有一个，即方程有唯一解，只有一个根（两个相同的根），其条件是判别式为零，即

化简得

考虑到重心高度z大于零，解方程（5）得

此时l有唯一值，对方程（3）由极值条件得

所以，当整体的重心最低时，水面与重心位置等高.

解法2：势能叠加法

对于变质量物体，若在其重心的左侧增加质量，则重心位置将向左移；……