倪平涛，刘德刚，曲文强

（1 广东南车轨道交通车辆有限公司，广东江门529000；2 中国南车集团 青岛四方机车车辆股份有限公司高速列车系统集成国家工程实验室，山东青岛266111）

轮轨接触几何关系计算是机车车辆动力学的基础，西南交通大学王开文提出的“迹线法”开创了我国轮轨接触几何研究的新阶段［1］，为分析滚动振动台试验与车辆实际线路运行特性的差异有贡献，张卫华参照“迹线法”的思路推导了轮轮接触几何关系计算公式，将轮轮接触点的寻找简化为一维搜索［2］。随着我国多个滚动试验台的建成，为更好地发挥滚动试验台对机车车辆研发的指导作用，需要进一步研究和明确轮轨、轮轮接触几何关系，与此同时，轮轨、轮轮接触几何方面的研究进展也将促进机车车辆仿真的深入及普及。本文在对轮轨接触迹线法进行研究的基础上，提出一种简洁、使用方便的轮轮接触二维搜索计算方法，同时提供了一种快速搜索轮轨和轮轮接触点的编程方法。

1 轮轨和轮轮接触点计算公式的推导

在直线钢轨上，由于直向半径为无穷大，对于踏面已确定的轮对，轮轨接触点迹线只与摇头角和侧滚角有关［1］；而对于轮轮接触，还需考虑轨道轮的半径和轮对初始位置。

1.1 轮轨、轮轮接触坐标系的建立

建立常用的机车车辆坐标系，即以轨道轮对或轮对的几何中心为原点，沿直线钢轨前进方向和轨道轮正位时的纵向为X轴，Z正向朝下的右手螺旋坐标系。以轨道轮正位时的Or－XrYrZr为轨道轮对坐标系（绝对坐标系），轮对静止时正位的O－XYZ坐标系为轮对计算参考坐标系（对于轮轨，则为轮对相对于轨道绝对坐标系的轮对2运动，反映轮对前进、横移、摇头和侧滚等5个方向运动的轮对本体坐标系。由于轨道轮对必须与车辆的轮对摆放位置相对应，车辆轮对与轨道轮对不应存在初始的摇头角，否则就会出现轮对偏移甚至轮缘接触，当轨道轮对反转时，偏移方向发生改变，出现这种现象后试验不能进行，即使强制进行试验，测试结果也不准确，但滚动台的轨道轮对位置可以与车辆在定距、轴距存在差异，轮对可能并不位于轨道轮对的顶点，即O－XYZ与Or－XrYrZr，在X方向可能存在初始的位移差xw0，但不会出现摇头角差。设xw、yw、zw为滚动台试验时和线路上运行时Ow－XwYwZw原点即轮对几何中心相对于O－XYZ的3个方向平动位移，φw、θw为轮对的摇头角及侧滚角，如图1、图2。为了推导的方便性，不失一般性，这里假定xw0、xw、yw、zw、φw、θw为正值，下面以右侧为例推导轮轮和轮轨接触的坐标求解公式。

图1 轮轨接触几何关系分析示意图

图2 轮轮接触几何关系分析示意图

在图2中，过轮轮接触点C作法线，其与轮对实际中心线相交于O1、与轨道轮对中心线相交于O4，车轮实际滚动圆圆心为O2，O3为轨道轮的圆心。

1.2 直线轨道上轮轨接触点的计算

当轮对有摇头角φw和侧滚角θw的位移时，轮对实际中心线相对于O－XYZ坐标系的方向余弦为：

对于待求的轮轮和轮轨接触点C（x，y，z），必在与轮对中心线垂直的平面（式2）、球面（式3）相交的圆周上，在O－XYZ坐标系中的方程为：

R为实际滚动圆半径，恒取正；x o2、y o2和z o2为实际滚动圆圆心O2在O－XYZ坐标系中的坐标：

dw为实际滚动圆圆心O2在Ow－XwYwZw坐标系中距轮对中心的距离，与Yw正向相同的右侧取正，与Yw负向相同的左侧取负。

对于在直线钢轨上的轮轨接触点，通过接触点的法线恒与钢轨横截面YOZ平行，即轮轨接触点和法线与轮对中心线的交点O1的x坐标相等。

式（5）在图形上表现为一个同X轴垂直的平面，它与平面（2）、球面（3）相交的圆周上有上下两个交点，其中下部交点为轮轨接触点；δ为踏面接触角。

如图1所示，对于O1点，以右侧为例，其x坐标值应比实际滚动圆圆心O2的x坐标值大，由于l x为负值，故右侧接触角δ必取正值才能满足等式（5）；对于左侧轮轨接触点，则刚好相反，左侧接触角δ必取负值。只有进行这样的处理，才能使式（5）同时满足左右侧轮轨接触点，方程才能得以统一和后续过程一起推导。

令

则式（2）、（3）简化为：

联立式（7）、式（8），用x t表示y t、z t：

由式（7）得：y t＝－代入式（8）并整理得：

对于根号内部，令：

由式（9）得到：

对于式（10），由于摇头角φw和侧滚角θw均很小，由l y＝cosθwcosψw可知l y恒为正值，且左右轮轨接触点为滚动圆的下部交点，即z值正向一则，故表达式的“±”取“＋”，式（10）简化为：

由式（7）、式（8）可知，y t和z t具有对称性和交换性，只需将式（10）中l的下标y、z互换即可得到y t的表达式：

对于y t的表达式（12），当轮对的侧滚角θw＞0时，l z＝sinθw＞0，左右侧实际轮轨接触点y值均小于对应的由式（2）、式（3）和式（5）相交得到的上部交点的y值（备注：图1中为了看图清晰，θw为负值），故“±”取“－”；当θw＜0时，l z＝sinθw＜0，左右侧轮轨接触点的y值均大于对应上部交点的y值，“±”取“＋”，但此时l z去掉绝对值时前面取负，故“±”仍取“－”，式（12）则简化为：

由式（5）得，x t＝x－x o0＝－l x Rtanδ，则：

令m＝，联合式（5），（6），（11），（13）和式（14），并整理得左右轮轨接触点在轮对平移坐标系O－XYZ中的坐标值为：

式（15）与文献［4］在表达式中正负号不同，这里对于dw和δ正负取值规定为与Yw正向相同的右侧均取正，与Yw负向相同的左侧均取负，这样便于记忆和使用。从上述推导过程可知：文献［1］和［4］中公式的正负号均有误。

需要说明的是由于式（15）含有xw，yw，zw，为了保持与文献［4］的连贯性和便于使用，式（15）中的x o2，y o2和z o2的表达式与本文中的式（4）有差异（下同）。若只求单个轮轨接触点，接触点与xw，zw无关，在式（15）可不考虑，在求轮轨压缩量时才会使用到zw。

1.3 直线钢轨上Z轴正向朝上的轮轨接触点计算

在1.2节介绍机车车辆惯用的Z轴正向朝下的坐标系得到的轮轨接触点计算公式。若使用汽车运动学和动力学中常用的Z轴正向朝上，X轴仍向前，Y轴正向随着向左的坐标系。在该坐标系中，式（1），（2），（3）并没有改变；为使左右轮轨接触点均满足式（5），对于dw和δ正负取值：与Yw正向相同的左侧均取正，与Yw负向相同的右侧均取负，这一点刚好与1.1节在机车车辆惯用的Z轴正向朝下的坐标系相反，但两者存在相同点：与Y正向相同一侧的dw和δ均取正、与Y负向相同一侧均取负。对于式（11），当Z轴向上时，接触点在滚动圆的下部即Z正向下部，应取较小值，则式（11）根号前面取负值；对于式（12），根号前面则取正值；对xw、zw的处理，与前述相同。在该轮对平移坐标系下O－XYZ的左右轮轨接触点的坐标计算公式为：

只有在直线轨道上通过接触点的法线才会钢轨的横截面YOZ平行，才会有简洁的表达式（5），故公式（15）、（16）在理论上并不适应于在过渡曲线和圆曲线。对于R300 m的曲线，通过轮轨接触法线与YOZ平面的夹角数量级为10－5rad，故在考虑外轨超高的条件下，工程上式（15），（16）在过渡曲线和圆曲线上具有足够的精度，可以近似使用。

1.4 单个和多个轮轨接触点的寻找方法

上述式（15）和（16）只是得到了在轮对为某一摇头角φw和侧滚角θw的情况下接触点所确定的空间坐标。当dw从轮缘最低点开始往踏面外端以某一间隔如0.1，0.05 mm进行离散，这样在轮缘和踏面上可能的接触点组成的一条空间曲线，即文献［1］称之的迹线。在车轮的轮缘、踏面和钢轨的顶面、侧面在经过离散和曲线拟合后，主曲率半径、横向曲率半径和接触角等所需原始参数同时得到，并用文件保存，在程序中则用数组表示。在考虑左右钢轨人为下沉，钢轨横移、浮沉、含轨底坡的翻转和不平顺的条件下，经过坐标平移和旋转，转化为轮对参考坐标系O－XYZ的数值（人为下沉了zs的其他坐标系亦可，下同），由于直线钢轨接触点的确定与X向无关，只需将钢轨和踏面Y坐标相同点的Z值相减，比较后得到左右两侧各自的最小间隙ΔZminL和ΔZminR，若不相等，则不断改变侧滚角θw，直到当左右两侧最小值的差值绝对值小于某一数值如10－4mm时，即可寻找到接触点，具体可见参考文献［1，5］。

当将钢轨侧面和顶面划分为两个或多个区域时，在某一侧滚角时无需迭代，利用上述方法，即可判断和得到两点和多点接触，并直接求出各处的法向力，具体可参考文献［5］，注意文献［5］中左右轮轨接触点的计算公式应替换为本文中的式（15）或（16）。

2 轮轮接触点的计算和寻找方法

滚动台分为轨道轮无激振的纯滚动台和具备横向与垂向激振的滚振台，为了模拟曲线通过轨道轮还可以摇头，如已拆除的德国慕尼黑的滚动台，这里以慕尼黑滚动台为例进行推导轮轮接触点的求法。在此之前应先对含有轨底坡的轨道轮从轨距点开始，沿轴线方向进行离散和曲线拟合，并得到各点的实际滚动圆半径、横向曲率半径等，用文件保存，在程序中使用数组形式。

对于轮轮接触，除需象轮轨接触一样考虑轮对的摇头及侧滚外，还要考虑轨道轮半径和初始位置。对于轮轮和轮轨的接触点，均在与轮对中心线垂直的平面（2）、球面（3）相交圆周上，但与轮轨接触点相比，通过轮轮接触点的法线并不与YOZ平面平行，存在夹角ε，即点O1与接触点的x坐标并不相等，见图2。为此，这里在机车车辆惯用的坐标系下采用同在一定范围离散的x得到x t，并由式（13）得到y t，进而得到y，由x、y进行二维搜索。在O－XYZ坐标系下，对轮缘和踏面，轨道轮侧面和顶面上的x、y坐标均相同对应点的z坐标相减。轮缘和踏面上的接触点z坐标由式（18）给出。为此，必须求得轨道轮上相对于坐标系O－XYZ的zr坐标表达式。

虽然轨道轮上x坐标也不影响轮轮接触几何参数［3］，但接触斑在x方向可能有一个斜坡，而在该接触斑上所求的轮轮蠕滑力必须投影到坐标系O－XYZ上。因此，理论上应考虑O－XYZ相对于Or－XrYrZr的初始平移xw0和轮轮接触点的x位移。在坐标系OXYZ上，zr坐标表达式为：

其中R0、Rr0并不是车轮和轨道轮的名义滚动圆半径，而是分别为车轮和轨道轮的正位接触时的滚动圆半径，此时轮对的摇头角和侧滚角均为零，且左右车轮和轨道轮接触点的各参数一致，可通过调试程序得到，这一点与轮轨接触相同，zrir为轨道轮的垂向激励位移。由于在Y向轨道轮上各处的实际半径Rr并不相等，通过由式（13）给出的轮轮接触点y坐标与轨距点的横向位移的距离 即“y－b g－yrir”，在以横向距离为横轴的轨道轮初始离散数据列表中比较，插值即可得到实际的轨道轮半径Rr，其中，b g为轨道轮轨距之半，与Y正向相同的一侧取正，另一侧取负；当轨道轮有摇头角φr时，则通过“y－b g－yrir－（xw0＋x）cosφr”比较。轮轮接触点的计算公式为式（18），由x和通过x t得到的y经过二维搜索得到z，具体与轮轨接触类似，参见文献［1］，［5］。

当采用Z轴向上的汽车运动学和动力学的常用坐标系时，对比式（16），轮轮接触点的求解公式如下：

对轨道轮模拟的不平顺值yrir、zrir和φr，在式（18），（19）中以各自的坐标正向为正。轮轨与轮轮接触点的寻找相比，前者为一维扫描搜索，只需利用Y坐标相同条件下车轮和钢轨Z坐标相减，得到各点的轮轨间隙，而Y值通过dw等可直接求出；后者为二维扫描搜索，除Y坐标外，还应补充X坐标，x在一定范围内给定并离散，y坐标通过x t、dw等求出，其余搜寻工作与前者相似。在单点轮轨接触中应用的搜索方法在轮轮接触中同样适用。

由上述分析可知：即使轨道轮对的踏面为圆柱面即半径恒不变，鉴于轮轮接触点的法线并不与轨道轮对的YOZ平行，在轮轮接触中接触点的X坐标并不存在本文中简洁的式（5），且轨道轮对存在有限的半径值和实际半径是变化的，理论上轮轮接触点的求解只能由二维搜索而不能由一维搜索得到，虽然轮轨接触点的求解可由轨道轮对半径取无限大如106 m退化得到，但仍为二维搜索，不如式（15）和（16）的一维搜索方便和快捷，文献［2］的方法值得商榷。

对于车辆在滚动台上的试验，一样会出现多点接触，某型动车组由于踏面磨耗量较大在试验时就出现过这种情况，相比单点接触的车辆，滚动试验表明噪声显著增大。与轮轨接触一样，由于式（18），（19）时车轮上接触点是完全脱离轨道轮对推导的，同轮轨的多点接触类似，同样可将轨道轮对的轮缘和顶面分成两个或多个区域，无需侧滚角的迭代，在每个区域寻找可能的接触点，计算各点的轮轮法向压缩量，其法向力的计算公式具体可参见文献［3］，这里不多赘述。

3 一种快速编程的搜寻方法

对于轮轨和轮轮接触点的实时计算，每运行一步应根据当前步的摇头角和侧滚角等应重新寻找，而积分步长一般为0.1～1.0 ms，有的甚至更小，这样当前步的接触点与上一步的接触点相距很近，编程仿真时可记下某条轮对在上一轮中得到的实际轮轨或轮轮接触点相关数组如dw，xw等的索引值如i＿search，在本轮循环中在i＿search的邻域内进行搜索接触点，以Fortran95的Do语句为例：Do i＝i＿search－k，i＿search＋k

k为邻域值，可通过调试得到，k的取值与离散时的间隔有关，一般选20～50即可，随着程序的进行，i＿search被不断地替换，可大大地缩小搜索范围，当搜索到接触点时即可通过cycle或exit语句跳出循环，这样极大地提高了计算速度。此方法特别适用于不需要侧滚角迭代的机车车辆大系统动力学，对滚动台上的动力学同样适用。

4 结束语

在深入研究轮轨接触“迹线法”的基础上，给出了轮轨接触迹线的正确表达公式，修正了常用文献中的问题，有利于研究人员的进一步应用；在利用轮轨和轮轮共用方程基础上，考虑了轨道轮的横向、垂向和摇头激扰及轮对相对于轨道轮的初始位移差，可全面地反映轮轮接触的真实情况，从理论上证明了轮轮接触只能是二维搜索，轮轨接触可以将轨道轮半径视为无穷大的二维搜索得到，但不能退化成一维搜索；提供的轮轮接触点计算公式在数学表达式上和轮轨接触计算公式具有表观相似性，公式简洁，使用方便。

［1］王开文.车轮接触点迹线及轮轨接触几何参数的计算［J］.西南交通大学学报，1984，（1）：89－99.

［2］张卫华.空间状态轮轮（轨）接触点接触点计算方法［J］.中国铁道科学，2006，（4）：76－79.

［3］金学松.轮轨摩擦学［M］.北京：中国铁道出版社，2004.

［4］瞿婉明.车辆－轨道耦合动力学（第3版）［M］.北京：科学出版社，2007.

［5］倪平涛.磁流变轮对耦合器及其车辆动力学研究［D］.成都：西南交通大学，2007.