朱春苗，赵维锐

(武汉理工大学理学院，湖北 武汉 430070)

近年来，各种时滞微分方程模型在生态系统的研究中被提出来，如人口动力学模型和传染病模型等。1980年GURNEY[1]等建立了一个数学模型来描述Nicholson果蝇的动力学性质，即:

在过去的几十年里，Nicholson果蝇微分方程已经取得了长足进步，并已有不少研究结果，参见文献[2-4]。2010 年BEREZANSKY 等[5]写了一篇关于Nicholson果蝇微分方程的评论性文章，提出了以下模型:

式中:P＞0为按种群数量计算每天平均产卵率的最大值;1/α＞0为以最大产卵率繁殖的种群数量;δ＞0为成虫每天的平均死亡率;τ为成长期，或一次产卵所用的时间;H＞0为收获率;σ为成熟期。

对于上述Nicholson果蝇模型，在文献[6-8]中已经得到了正平衡点的全局吸引性的相关结果。近年来，一些学者研究了具有时滞的Nicholson果蝇模型的正周期解的存在性[9-10]。然而，很少有文章讨论具有时滞和收获项的Nicholson果蝇模型的正周期解的存在性。因此，笔者研究了一类具有时滞和收获项的Nicholson果蝇模型，即:

(A2) g∈C(R+× R+，R+)，且 g(t，u)对第一变量为 ω 周期函数，对∀t，u＞0，有 0＜l≤g(t，u)≤L ＜ ∞ 且 l，L 为正常数。

1 基本定义和引理

设(X，‖·‖)为赋范线性空间，闭凸子集K⊂X非空，称K是X中的一个锥。如果对∀λ∈R+，有λK⊂K并且K∩(-K)={0}。为了方便起见，引入以下标记:

为了获得主要结果，先作一些准备，并引用有名的Krasnoselskii不动点定理。

引理1Krasnoselskii不动点定理[11-12]设X为一个Banach空间，K⊂X且K是一个锥，假设Ω1，Ω2为 X 中的两个有界开集，且全连续，如果下列条件之一满足:

(1)‖Φx‖≤‖x‖，∀x∈K∩∂Ω1，并且‖Φx‖≥‖x‖，∀x∈K∩∂Ω2;

(2)‖Φx‖≥‖x‖，∀x∈K∩∂Ω1，并且‖Φx‖≤‖x‖，∀x∈K∩∂Ω2。

则Φ在K∩(Ω2Ω1)中有一个不动点。

令:

定义:

那么X是一个Banach空间，如果x(t)∈X为式(3)的正周期解，则有:

在[t，t+ω]上对式(6)的两边同时取积分，则可得到: