☉重庆市涪陵区第十四中学校 贺清伦

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个“二次”问题，两者之间有着怎样的关系呢？下面为同学们一一介绍.

一、两者的关系

（1）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值等于m，求自变量x的值，可以解一元二次方程ax2+bx+c=m（即ax2+bx+c-m=0）.反过来，解方程ax2+bx+c=0（a≠0）又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0，求自变量x的值；

（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：

当b2-4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的根，二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点（x1，0）和（x2，0）；

当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的根，二次函数y=ax2+bx+c与x轴只有唯一的一个交点（x，0）；

当b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根，二次函数y=ax2+bx+c与x轴无交点.

图1

二、两者关系的运用

1.一元二次方程的根

例1 已知二次函数y＝－x2+2x+m的部分图像如图1所示，则关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的解为＿＿＿.

分析：要求出方程－x2+2x+m＝0的解，我们根据二次函数y＝－x2+2x+m的部分图像，知道抛物线的对称轴和一个交点的坐标.求出另一个交点的坐标，从而求出方程的解.

解：不妨设抛物线与x轴的两个交点坐标是（x1，0）（x2，0）.

说明：本题也可以通过图像的信息求出m的值，再解方程.

2.求一元二次方程的根

例2二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图2所示，根据图像解答下列问题：

（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根.

（2）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.

图2

解析：（1）从图像上可以看出，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于两点（1，0）、（3，0），故方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3.

（2）要使方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，也就是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与直线y=k有两个不同的交点，根据图像可知抛物线的顶点的纵坐标为2，所以只有当k＜2才能满足条……