☉江苏省南京市浦口区浦厂中学 谭 宇

背景：

学校模拟网上阅卷，在阅卷过程中收获颇多，学生们的解题方法和思维方式五花八门，不管是正确的还是错误的，远比出卷者预测的要多，有些考生的解题思维远比我们教师想象的要好，他们大胆的猜想和论证给了我不少震动和启发.我被分到第七组，批改第27题（共7人），当时碰到一份考生的试卷解法比较奇特，个人认为是正确的，但有3人否定、2人疑惑、一人不语.于是查找资料，思索探讨，从而就有了下面的论证过程.

过程：

后经研究发现，本题是2008年南京市数学中考试卷第27题第二问，下面是一个学生的解题过程的一小部分：

解：如图1，过点O作OC⊥AB，垂足为点C.

由题意可得：PA=5t，PB=4t.

图1

在直角三角形中，可以用边的比来表示两个锐角的三角函数，而从上面的“画线”部分可以看出，该生试图用三角函数推出直角三角形.27题的改卷的部分教师都认为是错误的，毫无道理的，但是我通过大量的实例验证，觉得这个结论是正确的.可以用这样一句话总结：“在三角形中，若一个锐角所对应的余弦值等于这个角两边的比值，那么这个三角形是直角三角形”.下面是证明过程：

求证：△PBA是直角三角形.

图2

又因P′B′=PB，

所以P′A′=PA.

在△P′A′B和△PAB中，

所以△P′A′B≌△PAB（SAS）.

所以∠PBA=∠P′B′A′=90°.

所以△PBA是直角三角形.

有以上结论可见，根据一位学生的“错”解，经过推理论证，从而得到一个新的命题.虽然这位学生没有论证他的猜想，没有得分，但是该为他的大胆猜想而感到骄傲！如果对这个问题的探……