邓启强

通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，线段最短”为原则引申出来的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。这类考题在近几年各省市的中考数学试题中作为压轴题屡见不鲜，在此类问题时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线。这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法。但是在中考中学生很难将一个复杂问题转化为一个等价的简单问题，笔者通过仔细研究发现，通过建立模型可以有效解决这一难题。

模型一：一定一动一直线

如图1，已知点P是直线a外一定点，点D是直线a上一动点，当PD垂直直线a时，点P到直线a的距离最短。（实质是“垂线段最短”的定理）

变式1：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是斜边AB上一动点，过点P作PF⊥AC于点F，PE⊥BC于点F，连接EF，且已知AC＝8，BC＝6。

问题：当P运动什么位置时，线段EF最短？最短是多少？

分析：由题意知四边形FCED是矩形，线段EF是对角线，因此求EF可转化为求CD，显然当CD⊥AB时线段CD最短。

解：连结CD，则CD＝EF

根据勾股定理，AB=AC2+BC2=82+62=10

当CD⊥AB时线段CD最短，此时12AB·CD=12 AC·BC

故CD＝4.8即EF最短4.8。

模型二：两定一动一直线（即“将军饮马”问题）

据说，在古希腊有一位聪明过人的学者，名叫海伦。有一天，一位将军向他请教了一个问题：从A地出发到河边饮马，然后再B地，走什么样的路线最短？如何确定饮马的地点？（把河看成一条直线）

显然作点B关于直线a的对称点C，连结AC，交直线a于点P，则PA＋PB最短。……