何鸿猷

循合数除1以外的所有因数可以表示成1+nr；质数除2，3外都可以表示成(1+6r)和(5+6r)，因此同循合数中的因数又可以表示成（1+gr）和（m+gr），以利分解.

【关键词】同循合数；全1数オ

什么是同循合数？以不含因数2，5的合数为分母的真分数化为循环小数为纯循环小数.不含因数2，5的合数可分为：

(1)同因合数：如3瑀(r大于1)，（设j为循环节位数5个字，n为循环节数字，即j=n，以下同）1[]3瑀，j=3﹔-2.设P为除2,3,5以外的所有质数，再设1[]p,j=np瑀（r大于1)为同因合数，1[]p瑀，j=p﹔-1×n.

（2)纯异因合数：如3×11×37×7×13=111111.73×137=10001.

(3)混异因合数：如3×3×37×333667=111111111.7×7×11×11=5929.

11×11×23×4093×8779=100000000001.

将混异因合数中的同因合数视为一个因数，纯异因合数与混异因合数又通称异因合数.以异因合数为分母的真分数化为循环小数，循环节的位数是其中各因数循环节位数的最小公倍数.如：3×11×37×7×13=111111，1[]3=0.3·,猨=1.1[]11=0.0·9·，j=2.1[]37=0.0·27·，j=3.1[]7=0.1·42857·，﹋=6.1[]13=0.0·76923·，j=6.1,2,3,6,6的最小公倍数是6.1[]111111=0.0·00009·,猨=6.再如：7×7×11×11=1[]72×1[]112=5929，1[]72，﹋=72-1×6=42.

1[]112，j=112-1×2=22.42和22的最小公倍数是42×11=462，1[]5929，j=462.

在纯异因合数中，有这样一种合数，除因数1外，其他所有因数、质因数分别为分母的真分数化为循环小数，循环节的位数都完全相等，具有这一特点的合数简称同循合数.如11111=41×271,1[]11111=0.0·0009·,1[]41=0.0·2439·,1[]271=0.0·0369·.11111是同循合数.

同循合数还可以作如下理解：即每一个自然数都有质数为分母的真分数化为循环小数，循环节位数与之对应，有唯一一个的，也有两个或两个以上的，凡两个以上与某个自然数对应的所有质数的积就是同循合数.

1[]3 j=1，1[]11 j=2，1[]37 j=3，1[]101 j=4，1[]333667 j=9，1[]9091 j=10，1[]9901 j=12，1[]909091 j=14.以上对应例子质数为分母都是唯一的，如再有第二个，它一定是合数.

11111=41×271，1[]41 j=5，1[]271 j=5,91=7×13，1[]7，﹋=6,1[]13,j=6.

1111111111111=53×79×265371653，1[]53 j=13，1[]79 j=13，1[]265371653 j=13.

826446281=23×4093×8779，1[]23 j=22，1[]4093 j=22，1[]8779 j=22.

10000000000000001=353×449×641×1409×69857，1[]353 j=32,1[]449 j=32，1[]641 j=32，1[]1409 j=32，1[]69857 ﹋=32，以上对应例子质数为分母都是两个或两个以上，11111，91，1111111111111，826446281，10000000000000001等都是同循合数，对应质数在三个以上的部分质数的积，可称为部分同……