徐学芹

【摘要】等差数列或是等比数列按照一定的规律把取出来的元素排成一个数阵，每行元素的个数成等差或等比数列，求第n行元素之和S璶.

【关键词】数阵;数学归纳法オ

最近我们的学生学到数学归纳法这一章节，书后习题中出现了这样的一类题目：一个等差数列或是等比数列按照一定的规律把取出来的元素排成一个数阵，每行元素的个数成等差或等比数列，求第n行元素之和S璶，难一点的，还会在某几个S璶的和上做文章.下面我们一起来探讨一下这类问题.

苏教版高中《数学》选修2-2的第91页第9题：将正整数作如下分组：（1），（2,3），（4,5,6），（7,8,9,10），（11,12,13,14,15），（16,17,18,19,20,21），…，分别计算各组所包含的正整数的和如下，试用不完全归纳法猜测S1+S3+㏒5+…+S2n-1的结果，并用数学归纳法证明.

S1=1

S2=2+3=5

S3=4+5+6=15

S4=7+8+9+10=34

S5=11+12+13+14+15=65

S6=16+17+18+19+20+21=111

……

解答本题的关键是弄清M﹌+1=M璳+S2k+1这一关系式，则要有M璶=n4(n∈N*)的猜想以及弄清第n行元素的和S璶如何求这两个问题.

我引导学生思考这样的几个问题：

(1）题中所给的每一行的元素有什么特征？

(2）题中所给的每一行的元素个数有什么特点？

(3）题中所给的每一行的首位元素或末尾元素有何特点？能否将第n行的首位元素或末尾元素写出来？

(4）能否将第n行元素的和S璶表示出来？

观察思考了几分钟之后，学生开始活跃起来，问题的答案也呼之欲出了.不难发现：

(1)将所有元素放在一起构成一个以1为首项、公差为1的等差数列；

(2)每一行的元素个数就是它的行数；

(3)第n行的末尾元素即为前n行的元素总个数n(n+1)[]2，第n行的首位元素即为第n-1行的末尾元素加