张博

【摘要】类比推理是近几年高考的一个热点内容，既考查学生的推理论证能力，又考查学生的发散思维，进一步促进学生数学解题能力的提高，这样可以使较难的题目迎刃而解.本文通过一道高考题来看解析几何中圆与椭圆性质的类比.

【关键词】圆;椭圆;类比推理

近几年江苏省高考数学在解析几何方面的考查基本上坚持从圆与椭圆的性质入手，本文就圆与椭圆有关的性质类比试举几例与同学们共赏.

一、高考赏析

（江苏2011高考第18题（3））如图，在平面直角坐标系xOy中，MN分别是椭圆x2[]4+y2[]2=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.对任意的k>0，求证：PA⊥PB.

证明 设P(x1,y1）,〣（x2,獃2),则x1>0,x2>0，x1≠x2,A(-x1,-y1),〤(x1,0).

设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2，因为C在直线AB上，

ニ以k2=0-(-y1)[]x1-(-x1)=y1[]2x1=k[]2，

ゴ佣鴎1k+1=2k1k2+1=2y2-y1[]x2-x1·y2-(-y1)[]x2-(-x1)+1=2y22-2y21[]x22-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)[]x22-x21=4-4[]x22-x21=0，

因此k1k=-1，所以㏄A⊥PB.

点评 本题利用椭圆的性质使得过程较为简洁，实际上本题中椭圆具有如下性质：k〣A·k〣P=-1[]2，请同学们思考椭圆方程的a2,b2与直线BA,BP斜率乘积有何联系？是如何想到的呢？这是一种巧合吗？下面我们带着这些问题作进一步探究.

二、类比探究

唯物辩证法告诉我们：“任何事物的存在都不是孤立的，它必与其他事物有着必然的联系.”由平面几何圆的性质我们知道：（1）圆的直径所对的圆周角为直角，即圆上任意一点（除直径两端点外）与圆直径两端点的连线所在直线的斜率（设斜率存在）之积为定值-1.类比到椭圆能否得到：椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦的两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值呢？