马涛

【摘要】在不等式的证明（或求最值）时，均值不等式与獵auchy不等式（或獺塴der不等式）的结合运用是一种重要方法.关键是要注意不等式中等号成立的条件.

【关键词】均值不等式；獵auchy不等式；獺塴der不等式

有一道常见的数学竞赛试题：

原题 已知x,y,z>0,求证：xy+2yz[]x2+y2+z2≤5[]2.

分析 结合求证的分式的结构特点，通过对分母中的和式进行适当拆分，进而运用均值不等式可使问题得到解决.

证明 据均值不等式，得：x2+1[]5y2≥2[]5xy,4[]5y2+z2≥4[]5yz.

二式叠加，可得：x2+y2+z2≥2[]5(xy+2yz)，易知，命题得证.

变式1 （2008年第五届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题）求出最大的正实数λ,使得对于满足x2+y2+﹝2=1的任何实数x,y,z成立不等式：|λxy+yz|≤5[]2.

分析 容易发现本题与原题有许多相似点，因而可结合原题的解题思想进行研究.另外，需注意对绝对值号的适当处理.

变式2 长方体ABCD-A1B1C1D1中，假设体对角线AC1与棱AA1,AB,AD夹角分别为α,β,γ，求:玞osα玞osβ+玞osβ玞osγ的最大值及此时α,β,γ的值.

分析 从本题的式子可以看出，与原题分式的分子式相似，另外结合长方体中有三角关系

玞os2α+玞os2β+玞os2γ=1,进而可仿照原题进行求解.

推论1 若x,y,z,a,b>0,则有axy+byz[]x2+y2+z2≤a2+b2[]2.

变式3 x璱>0,i=1,2,…,n,x21+x22+…+x2璶=1,求﹛1(x2+獂3+…+x璶)的最大值.

分析 根据题目中的式子特点，很容易联想到獵auchy不等式和均值不等式，但若不能结合问题综合考虑，则会导致如下错误：

错解 据均值不等式，得：x1(x2+…+x璶)≤x1+(x2+…+x璶)[]22=(x1+x2+…+x璶)2[]4.

又由獵auchy不等式，有(x1+x2+…+x璶)2≤n(x21+﹛22+…+x2璶)=n,

从而，有x1(x2+…+x璶)≤n[]4.故x1(x2+…+x璶)﹎ax=n[]4.

错因 以上错解的主要原因在于仅仅联想到两个不等式的特点，而忽视了不等式中等号成立的条件.

正解 据均值不等式，得：1[]n-1x21+x22≥2[]n-1x1x2，…，1[]n-1x21+x2璶≥2[]n-1x1x璶，

不等式叠加，可得：2[]n-1x1(x2+…+x璶)≤x21+x22+…x2璶,即：x1(x2+…+x璶)≤n-1[]2,

当且仅当1[]n-1x21=x22=x23=…=x2璶时取等号……