黄欣

【摘要】抽象函数问题由于没有具体解析式，只能通过给出的条件探究推测解题思路，观察其给定的表达式结构特征进行巧妙赋值和变换，是解决这类题目的关键，然而如何进行所谓的“巧妙的赋值和变换”，是我们需要突破的难点.因此，本文提出“原型”法尝试突破这一难点.

【关键词】抽象函数问题；类比联想；“原型”破题法

所谓原型，就是符合题目给出的抽象函数性质的我们熟知的函数，譬如：抽象函数具有这样的性质：f(xy)=f(x)+ゝ(y)(x>0)，那么它的一个原型就是对数函数f(x)=玪og璦x.对原型主要性质尝试迁移到当前的抽象函数，就可以启发我们有针对性地赋值和变换，从而有了破题思路.对于客观题而言，只要找到原型，就等于得到正确答案了，直接破题.

例1 （2008重庆理科卷）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是().

獳.玣(x)为奇函数獴.玣(x)为偶函数

獵.玣(x)+1为奇函数獶.玣(x)+1为偶函数

原型法 依题意知f(x)=x-1满足题设，从而对照选项很快知道只有选项獵是符合的.

例2 （2009全国Ⅰ卷理科）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则().

獳.玣(x)是偶函数獴.玣(x)是奇函数

獵.玣(x)=f(x+2)獶.玣(x+3)是奇函数

原型法 符合条件的原型函数有玞osπ玿[]2和玸in(π玿)，对照选项显然只有选项獶是符合的.

例3 （2010重庆15题）已知函数f(x)满足:f(1)=1[]4,4f(x)f(y)=猣(x+y)+f(x-y)，(x,y∈R)，则ゝ(2010)=.

原型法 由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

联想到余弦的积化和公式：玞os玿玞os珁=1[]2［玞os(x+y)+玞os(x-y)］，

只需相关系数略作调整，最后可构造f(x)=1[]2玞osπ玔]3x是符合题目条件的.所以f(2010)=1[]2玞os2010[]3π=1[]2.

当然以上诸例可以用常规解法解之，但就客观题而言对比……