朱远军

解析几何是高中数学教学的重要内容，每年全国各地的高考题中，除了填空题或选择题有解析几何的内容外，几乎都有一道解析几何的大题，而且大多在最后两题中.在考题中直线与圆锥曲线的位置关系的考查最为常见.这就涉及判别式的问题.怎样处理其中的判别式才能使运算简便呢？是否一定要解不等式Δ>0呢？是否一定要求判别式呢？这些都是值得注意的问题，本人在教学过程中，总结得出了以下三种类型，现分别用例题加以说明.

一、验而不解

例1 给定双曲线x2-y2[]2=1，过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1及Q2，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

解 根据题意可设直线m的方程为y=k(x-1)+1,

代入双曲线方程2x2-y2=2，

整理，得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0,

其判别式Δ=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3).

设Q1(x1,y1)，Q2(x2,y2)，由中点公式和韦达定理有1=獂1+x2[]2=k2-k[]k2-2，解得k=2.以k=2代入Δ，得Δ=-8<0，故上述关于x的一元二次方程无实根，所以符合题设条件的直线m不存在.

注 本题中如果解不等式Δ>0，就比较复杂了，其实，只要把k=2值代入看是否有Δ≥0就可以了，本题还可采用如下更简便的方法：

由点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)在双曲线x2-y2[]2=1上，得x21-y21[]2=1,①

x22-y22[]2=1,②

①-②，得(x1+x2)(x1-x2)=1[]2(y1+y2)(y1-y2).

∵Q(1,1)是Q1Q2的中点.∴x1+x2=2，y1+y2=2.

∴直线Q1Q2的斜率k=y1-y2[]x1-x2=2，

又 直线Q1Q2经过点B，∴直线Q1Q2的方程为y=2x-1.

将其代入双曲线方程得-2x2+4x-3=0，显然Δ<0，故满足题设条件的直线m不存在.

注 本解法中很多同学得到直线y=2x-1就结束了，忘记了将直线代入双曲线方程会验证Δ的值，从而得出“存在”的错误结论，这一定要引起重视.

二、解而不验

例2 已知l1,l2是过点P(-2,0)的两条互相垂直的直线，且l1,l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1,B1和A2,B2，求l1的斜率k的取值范围.

解 根据题意可设l1,l2的方程分别为

y=k(x+2)(k≠0),①

y=-1[]k(x+2).②

以①,②两式代入双曲线方程y2……