江一峰

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”，记录了将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再回到B点宿营的活动过程（如图1）.人们自然会提出这样一个问题：饮马点该选在何处才能使总行程最短.无独有偶，古希腊的一位将军更是把这个问题提交给数学家海伦求解.于是，这个问题就有了它的专有名称——将军饮马.

图 1其实，“将军饮马”抽象成数学问题即为：点A，B在直线MN的同侧，在MN上求一点S，使㏒A+猄B为最小.海伦的解法十分巧妙，作点A关于轴MN的对称点A′,A′B与MN的交点S就是所求之点.理由是对于MN上任一点S′,S′A+S′B=S′A′+S′B≥A′B=AS+SB.

探究其解题的思想方法，采用的是“化折为直”的方法，依据是平面几何中的公理：连接两点的线中以直线段为最短.这一数学思想方法在数学解题中会经常得到运用.下面举例说明之.

图 2例1 如图2，已知正方形ABCD内有一正三角形ABE，试在其对角线AC上找一点P，使PD+PE最小.

解析 因为点D，E在直线AC的同侧，很明显，例1

就是将军饮马问题.点D关于直线AC的对称点为B,

所以PD=PB,从而只需PB+PE最小即可，故当P，B，E三点共线时PB+PE最小,即点P在直线AC与直线BE的交点时PD+PE最小，最小值就是正方形的边长.

图 3例2 如图3，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)，B(a+5,0)，C(7,9)，D(5,5)，当四边形ABCD周长最小时，求实数a的值.

解析 因为线段AB=5，CD=25均为定值，

所以，欲使四边形ABCD周长最小，只需AD+BC最小即可.

过A作AE∥BC且AE=BC，则问题转化为求AD+AE最小，如此，问题又转化成将军饮马问题，不难求得a=55[]14.

“化折为直”思想方法的用武之地有时候……