贺皖松

一、利用极限的四则运算法则求极限

极限的四则运算法则为：

设﹍im玿→x0f(x)=A,﹍im玿→x0g(x)=B,A,B为有限常数，则

（1）﹍im玿→x0［f(x)±g(x)］=﹍im玿→x0f(x)±﹍im玿→x0g(x)=A±B.

（2）﹍im玿→x0［f(x)g(x)］=﹍im玿→x0f(x)﹍im玿→x0g(x)=AB.

（3）﹍im玿→x0f(x)[]g(x)=﹍im玿→x0f(x)[]﹍im玿→x0g(x)=A[]B,(B≠0).

以上四则运算法则对自变量x的其他变化趋势也同样适用.

使用极限四则运算法则时，我们应注意它们的条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则；当分式的分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了使用极限的四则运算法则，我们往往需要对函数作代数或三角的恒等变形.例如：（1）当分子、分母的极限都是零时，有时可通过因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中极限为零的因式；（2）当分子、分母的极限都是无穷大时，分子、分母可同除以x（或n)的最高次幂；（3）作适当的变量代换；（4）利用三角公式变形，等等.

下面通过典型例题加以说明.

例1 求极限﹍im玿→1x2+x+2[]x+1.

解 当x→1时，分子、分母的极限均存在，且分母的极限不为零，故满足极限四则运算的条件，直接使用极限的四则运算法则求极限.

﹍im玿→1x2+x+2[]x+1=﹍im玿→1(x2+x+2)[]﹍im玿→1(x+1)=﹍im玿→1x2+﹍im玿→1x+﹍im玿→12﹍im玿→1x+﹍im玿→11=1+1+2[]1+1=2.

例2 求极限﹍im玿→1x2+1-x2+x[]2x+1-3.

解 由于﹍im玿→1(2x+1-3)=0，故不能直接使用商的极限运算法则，需要把分子、分母分别有理化，得

﹍im玿→1x2+1-x2+x[]2x+1-3=﹍im玿→1(x2+1-x2+x)(x2+1+x2+x)[](2x+1-3)(2x+1+3)·2x+1+3[]x2+1+x2+x

=﹍im玿→11-x[]2(x-1)﹍im玿→12x+1+3[]x2+1+x2+x

=-1[]2×23[]22=-6[]4.

总结 使用极限的四则运算法则时，应注意它们的使用条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则.当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了简化极限的运算，往往需要对函数作代数或三角的恒等变形.

二、利……