胡晓红

【摘要】本文从凹函数的定义出发研究了凹函数的充要条件，并给出凹函数新的判定法.

【关键词】凹函数;开区间;连续函数

【中图分类号】玂174.13

【文献标识码】獳オ

一、定义及引理

1905年丹麦数学家獼ensen首次给出了凹凸函数的定义，打开了研究凹凸函数的先河.由于凸分析的发展,人们对于凸函数的研究已十分透彻,而与凸函数相仿的凹函数研究得较少.本文在总结凹函数判别方法的基础上,给出了新的判别法.

定义［1］ 设I为一开区间，f为定义在I上的函数，对任意的x,y∈I，λ∈［0,1］，若

f((1-λ)x+λy)≥(1-λ)f(x)+λf(y)，(1)

则称f为凹函数.

利用凸函数类似的方法［2］，可以证明下面两个判别函数凹性的结论：

引理1 设f为开区间I的凹函数讵衭，v∈I(u

f(x)≥f(u)+f(v)-f(u)[]v-u(x-u).(2)

引理2 设f为开区间I的连续函数,f为凹函数讵衳,y∈I,有

fx+y[]2≥f(x)+f(y)[]2.(3)

二、主要结果

当选取区间I上多个变量时,我们有下列重要的定理.

定理1 设f为开区间I上的凹函数讵衳1,x2，…，x璶∈I,笑霜1,λ2，…，λ璶∈［0,1］且А苙[]k=1Е霜璳=1,有

f∑n[]k=1λ璳x璳≥∑n[]k=1λ璳f(x璳).(4)

证明 必要性():（数学归纳法）当k=2时，由定义，(4)式显然成立.设k=n-1时(4)式也成立.当k=n时，衳1,x2，…,x璶∈I，笑霜1,λ2，…，λ璶∈［0,1］.

f∑n[]k=1λ璳x璳=fλ1x1+…+λ﹏-2獂﹏-2+1-∑n-2[]k=1λ璳·λ﹏-1猍]1-∑n-2[]k=1λ璳x﹏-1+λ璶[]1-∑n-2[]k=1λ璳x璶≥λ1f(x1)+…+λ﹏-2猣(x﹏-2)+1-∑n-2[]k=1λ璳fλ﹏-1猍]1-∑k=n-2[]k=1λ璳x﹏-1+λ璶[]1-∑n-2[]k=1λ璳x璶≥λ1f(x1)+…+λ﹏-2猣(x﹏-2)+λ﹏-1猣(x﹏-1)+λ璶f(x璶).

其中第一个不等号由假设k=n-1时(4)式成立可得，第二个不等号由定义可得.

充分性():笑霜1,λ2∈［0,1］,衳1,x2∈I，由(4)和定义可知f为凹函数.

定理1的结论类似于凸函数中著名的獼essen不等式.下面的定理2，我们给出了与凹函数等价的新的重要条件.

定理2 设f为开区间I上的凹函数讵衳,y,z∈I，

f(x)+f(y)+f(z)[]3+fx+y+z[]3≤2[]3fx+y[]2+ゝy+z[]2+猣x+z[]2.（5）

证明 必要性():不失一般性，不妨设x≤y≤z.若﹜≤獂+y+z[]3，则y≤x+z[]2.从而x+y+z[]3≤x+x+z[]2+z[]3=x+z[]2≤z,x+y+z[]3≤x+z[]2≤y+z[]2≤z，则存在s,t∈［0,1］，使得

x+z[]2=sx+y+z[]3+(1-s)z.（6）

y+z[]2=tx+y+z[]3+(1-t)z.（7）

（6）（7）两式相加可得

x+y+2z[]2=(s+t)x+y+z[]3+(2-s-t)z.

整理可得

(x+y-2z)s+t-3[]2=0.

从而x+y-2z=0或s+t-3[]2=0.若x+y-2z=0,由﹛≤獃≤z可知x=y=z,显然(5)式……