王晓玲

一、一阶微分方程类型

一个微分方程，首先应掌握方程类型的判别，因为不同类型的方程有不同的解法，同一个方程也可能属于多种不同的类型，同时也有多种不同的解法，我们则应该选择较易求解的方法.对于一阶微分方程，通常可按照可分离变量的方程、一阶线性方程、齐次方程的顺序进行.

一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y′)=0或y′=f(x,y).

其中最基本的类型是变量可分离的方程和一阶线性方程，而齐次方程可通过变量替换也可转化为变量可分离的方程.

二、一阶微分方程变量可分离类型解法

1.一般变量可分离方程

一般的，如果一个一阶微分方程能写成g(y)玠珁=ゝ(x)玠玿 （1）

的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含有y的函数和玠珁，另一端只含有x的函数和玠玿，那么原方程就称为可分离变量的微分方程.假定方程（1）中的函数ゞ(y)和f(x)是连续的，设y=h(x)是方程（1）的解，将它代入到（1）中得到恒等式

g［h(x)］h′(x)玠玿=f(x)玠玿.

将上式两端积分，并由y=h(x)引进变量y，得

А襣(y)玠珁=∫f(x)玠玿.И

设G（y）及F（x）依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有

G（y）=F(x)+C.（2）

因此，方程（1）的解满足关系（2）.反之，如果y=H（x）是由关系式（2）所确定的隐函数，那么在g(y)≠0的条件下，y=H(x)也是方程（1）的解，事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)≠0时，

H′(x)=F′(x)[]G′(y)=f(x)[]g(y).

这就表示函数y=H(x)满足方程（1）.所以，如果已分离变量的方程（1）中，g(y)和f(x)是连续的，且g(y)≠0,那么（1）式两端积分后得到的关系式（2）就用隐式给出了方程（1）的解，（2）式就叫做微分方程（1）的隐式解.又由于关系式（2）中含有任意常数，因此（2）式所确定的隐函数是方程（1）的通解……