周勇 曹建中 黄秋燕

【摘要】数列是高中数学教学的重点,而求数列通项公式又是该问题的难点，本文总结了高中数学常见的几种由递推关系式求数列的通项公式的解法.

【关键词】递推数列;通项公式

数列是高中数学的重要内容之一，虽然在教学大纲中只有12个课时，但是在高考试题卷面中约占总分的8%~11%.由于数列问题最终归结为对通项公式的研究，故数列通项公式的求解是数列中最基本和最重要的问题，也是高考对数列问题考查的热点之一.近年的出题形式为先给定数列的初始项和数列通项的递推关系式，要求解出通项公式.由于求解方法需要灵活的变形技巧，学生遇到此类问题常常感到困难而无从下手.笔者根据自己的教学实践，以数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例，总结介绍几种常见的通项公式的类型和解法，供读者参考.

类型一 等差型数列:已知a1和a﹏+1-a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累加法（即逐项相加法），再使用相关公式进行求解.即a璶=(a璶-a﹏-1)+(a﹏-1-a﹏-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).

读者可尝试求解以下三道难度不大的试题：

①（2008天津）已知数列{a璶}中,a1=1,a﹏+1-a璶=1[]3﹏+1(n≥1),则┆玪im猍]n→+∞a璶=.

②在数列{a璶}中,a1=1,a﹏+1=a璶+2n-1(n≥1),求a璶.

③（2008江西）在数列{a璶}中,a1=2,a﹏+1=a璶+┆玪n1+1[]n ,则a璶=.

类型二 等比型数列:已知a1和a﹏+1猍]a璶=f(n)，求a璶.

解法 使用累乘法（即逐项相乘法）求解，即a璶=a璶[]a﹏-1·a﹏-1猍]a﹏-2·…·a3[]a2·a2[]a1·a1(n≥2).

例1 已知a1=1，a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1).求a璶.

解 由a﹏+1=2n-1[]2n+1a璶(n≥1)知a﹏+1猍]a璶=2n-1[]2n+1(n≥1)，故a璶=2(n-1)-1[]2(n-1)+1·2(n-2)-1[]2(n-2)+1·…·2×2-1[]2×2+1·2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1·2n-5[]2n-3·…·3[]5·1[]3·1=1[]2n-1(n≥1).

类型三 线性递推数列：已知a1和a﹏+1=pa璶+q(其中p,q为常数，且pq≠0,p≠1),求a璶.

解法 使用待定系数法转化为公比为p的等比数列后再求a璶……