郭海兵,李连庆

(1.淮海工学院 理学院，江苏 连云港 222005；2.中国人民大学 统计学院，北京 100872)

0 引言

传统的线性模型

中，往往认为回归系数β是固定的，但是在一些问题中，这样的假设很不合适。例如在纵向数据中，β表示某种药品的边际效用，显然随着时间的变化，单位药品带来的效用是在不断的变化，甚至于病愈后这样的效用是负的。Hastie(1993)通过很多的例子来揭示模型(1)的不足之处，并据此提出了变系数线性模型

1 参数估计及其性质

2.1 一些符号标记

其中:

这里假设所有的样本信息都以提炼到模型之中了，误差项只是一组白噪声序列，也就是

1.2 参数估计

对于模型（5）中的变系数β() t的估计，通常使用非参数的方法。Fan(1999)和Xia(2004)等运用局部线性多项式

将问题转化成局部最小二乘估计，并且证实了具有很好的渐进性质，但是估计的过程中涉及到两个量——带宽（bandwidth）和权重（weight）的选择和优化是非常困难的事情。Hoover（1998）等人在使用了B样条的方法进行了估计，但是该法对节点t0的要求比较高，当节点的间隔不等距的时候，计算过程带来很大的困难。本文考虑如下基于粗糙性的惩罚似然函数的估计量

其中,q=n1+n2+…+nm,K1=…=Kp=K*,于是（7）式可以写成

解之得

综上，可以得到如下结论：

定理1变系数纵向数据模型(5)关于粗糙性惩罚似然函数（8）的估计量为:

其中:

1.3 估计量的数字特征

定理2定理1中的估计量的期望和协方差阵分别为:

证明：由于

而

带入(10)式，可以得到(11)的前面部分。又因为

2 模拟计算

考虑模拟如下的模型：

图1 光滑参数关于MSE的三维图