徐晓梅 李云德

(云南师范大学物理系 云南 昆明 650500) (云南大学物理系 云南 昆明 650091)

众所周知，量子力学现在已经发展成为现代高科技的理论基础.然而，由于量子力学基本概念及处理问题的方法与大家所熟悉的经典物理有较大的差别，因此，初学者在量子力学学习过程中会遇到许多困难. 最常见的困难之一是不知道如何解习题.尽管为解决这个问题，已出版了许多习题解答方面的著作，如比较流行的文献[1].但是由于这些解答所用的方法通常比较灵活，学生不容易掌握.我们根据多年的教学经验，对量子力学中力学量对易关系的证明类习题给出一般解法，以期帮助学生克服解此类习题的困难. 这里给出的一般解法，不仅对于初学者有用，而且对于有一定基础的大学高年级学生以及研究生在学习高等量子力学时，在加深对量子力学的理解和提高应用量子力学解决问题能力方面，都具有启发和益处.

1 Levi-Civita张量的定义及其基本性质

Levi-Civita张量为三阶完全反对称单位张量，其定义为[2]：

εαβγ=1，其中α，β，γ为1，2，3的偶对换；εαβγ=-1，其中α，β，γ为1，2，3的奇对换；εαβγ=0，其中α，β，γ中有两个以上指标相同. Kronecker张量定义为

在下面的讨论中采用下列求和约定

(1)

(2)

(3)

在此求和惯例下Levi-Civita张量所满足的关系可简写为

εαβγεαβγ=6

(4)

εαβγεαβλ=2δγλ

(5)

εαβγεαλδ=δβλδγδ-δβδδγλ

(6)

量子力学中坐标、动量、角动量的基本对易关系可简写为

[xα,pβ]=iћδαβ

(7)

[lα,lβ]=iћεαβγlγ

(8)

[lα,xβ]=iћεαβγxγ

(9)

[lα,pβ]=iћεαβγpγ

(10)

2 Levi-Civita张量的应用举例

利用上述10个基本等式，原则上可以很方便地处理量子力学中有关矢量、张量算子的点乘积、叉乘积、对易子等联合运算……