夏亚春

(江苏省东台中学 江苏 盐城 224200)

1 根据点电荷场强公式应用微积分解之

图1

为了求其表面的场强，可以将球壳分成“微元”球带，如图1所示．球带上某一小微元AB在球面上P点产生的场强方向如图1中dE′所示，由对称性可知，整个球带在的P点产生的场强矢量合成的结果沿z轴方向．

则整个球面上的电荷在该处产生的场强为

2 紧扣孤立电容器模型巧用功能关系

设均匀带电球壳的半径为R，所带的电荷量为Q，取无穷远处电势为零，则球面上的电势为

(1)

均匀带电球壳的电容为

(2)

该电容器的静电能为

(3)

若将该球壳的半径由R增加到(R+Δr)，其中Δr为无穷小量，则电势能的减少量为

(4)

在移动无穷小量Δr的过程中，可以认为球面上的场强大小不变．由对称性可知均匀带电球壳表面的场强方向均沿半径方向，且各处场强的大小相等．因此在该微元过程中，电场力做的功为

W=EQΔr

(5)

由功能关系可知

W=Δε减

(6)

由式(4)～(6)可得

忽略无穷小量Δr，可得

3 运用叠加原理渗入极限思想

如图2所示，在球面上取一个以P点为圆心的圆形小面元，该小面元的半径远远小于球的半径，则该小面元可以看成平面．在小面元的内外两侧取无限逼近P点且关于P点对称的A，B两点，A，P，B三点在球壳的同一条半径上，则对A，P，B三点来讲，小面元又可看成无限大平面．

A，P，B三点的场强均是由小面元上的电荷产生的场强和小面元以外的电荷产生的场强叠加而成的．由于三点无限接近，所以球壳上小面元以外的电荷在A，P，B三点产生的场强相等，由对称性易知方向均沿半径向外，设其大小为E其余．

图2

由于对A，P，B三点来讲，小面元可看成无限大平面，因而小面元在A，B两点产生的场强大小相等，方向相反，在A处场强方向指向圆心，在B处场强方向沿半径向外，设其大小为E小面元．又由于P点是小面元的正中心，所以小面元在P点产生的场强为零．

由高斯定理可知，A点的场强EA=0，综上所述则有E小面元=E其余．同样根据高斯定理易知B点处的场强为

解之得

由于小面元在P点产生的场强为零，即

以上讨论提醒我们在物理教学和物理学习中绝不能凭主观感觉妄下结论，要善于建立准确巧妙的物理模型，运用数学和物理方法进行严密的推理和运算，这样得出的结论才是可靠的．而如何建立物理模型和建立怎样的物理模型正是物理思想的重要体现，是物理能力的核心所在，是学生学习和研究物理所必需的重要素质．