张文理

(南京师范大学附属中学 江苏 南京 210003)

研究斜抛运动的常见方法是运动的合成与分解，把运动看作是两个直线运动的叠加，根据不同的情景采用不同的分解方法，然后再进行数学处理．解斜抛中的极值问题，数据处理过程中会涉及到复杂的二次函数、三角函数极值运算，计算相当繁琐．选择合适的分解方法会在一定程度降低分析的难度，但无疑又对学生的思维和熟练程度提出了挑战．那么，是否存在普适的方法呢？我们不妨尝试借用包络线方程，去求解斜抛中的极值问题．

模型：一大炮发射炮弹，初速度为v0，忽略空气阻力和重力加速度变化的影响，求炮弹所能达到区域的边界方程．

分析：如图1所示，设定抛射点为坐标原点，在抛射平面(竖直平面)内建立直角坐标系xOy，沿水平方向和竖直向上方向分别建立x，y轴，θ为初始抛射角，此时，斜拋运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动，t时刻的水平位移

x=v0tcosθ

(1)

图1

在竖直方向上的分运动是竖直上拋运动，t时刻的竖直位移

(2)

(3)

改变θ，将形成一簇抛物线，此抛物线所能达到的区域边界曲线称为抛物线簇的包络线，抛物线与包络线相切，炮弹是不可能达到包络线以外的，如图2所示．

图2

将式(3)变形

(4)

式(4)即为包络线方程，是一条抛物线．对于三维空间，边界方程应为包络面方程，在此不作赘述．

研究包络线方程所包含的物理意义，可以得出这样的结论：在抛射速度v0确定的情况下，对于包络线上的某点(x，y)，若x值确定，y值必为斜抛过程中竖直方向所能达到的最大值；……