王卫勤,陈 军

(泰州师范高等专科学校，江苏 泰州 225300)

1 引言

Fáry[1]用积分几何方法证明了三维欧氏空间中关于闭曲面的不等式：

其中K是曲面∑上的Gauss曲率.

显然，这个不等式中等号一定不成立.

我们也称p为Minkowshi支函数，[3]中的P4恒为0，从而(68)[3]成立，而且结论可以改成

2 闭曲面的Fáry不等式的n维推广

这是本文的主要结论，下面证明这个定理.

其中

p1=y1，p2=y2，p3=p，p4=…=pn=0，ω13∧ω23=k0dσ，k0=k3称为∑的支持曲率.

可以得到

h=4，…，n

且

从而得到

定理得证.

3 结束语

Fáry不等式是经典的微分几何不等式，重要的是将三维欧式空间中的闭曲面的Fáry不等式推广到了高维欧氏空间中，得到了新的结果.对二维闭曲面∑，能否将|K3|改为|K|?三维闭曲面∑的面积有无类似公式?这就有待于我们进一步研究.虽然这一类是老课题[4-8]，已有几十年的历史，但仍不断有新的进展，足以说明Fáry不等式的魅力所在，并且仍有进一步研究的必要与潜力.

参考文献：

[1]F.ry. Istv.n Sur certaines in.galit es g.om.triques.( French) Act a Sci Math Szeged 12，Leopoldo Fejer et Frederico Riesz LXX annos natis dedicatus，Pars A.1950:117- 124.

[2]Chakerian G D. An inequality for closed space curves[J].Pacific J .Math.，1962，12:53 -57.

[3]马宏宾，孙振组.微分几何中几个不等式及其推广[J].中国科学院研究生院学报， 2004，21(2).

[4]苏步青.微分几何五讲[M].上海:上海科学技术出版社，1979.

[5]梅向明，黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社，1988.

[6]吴大任.微分几何讲义[M].北京:高等教育出版社，1959.

[7]陈省身，陈维桓.微分几何讲义[M].北京:北京大学出版社，1983.

[8]Hopf H.整体微分几何[M].吴大任，译.北京:科学出版社，1987.