谢振中，李春雷

(邵阳学院 理学与信息科学系，湖南 邵阳 422000)

给出Gauss-Markov结构

(1)

T=A'Y

(2)

这里A是任意n×m阶矩阵. 这时直接讨论可估函数的GM估计就显得十分困难，为此有必要对模型(1)进行线性变换，在进行线性变换后的模型结构下讨论可估函数的GM估计，一般来说，变换后的GM估计要发生改变，文献[1]采用两步最小二乘法分析了在rank(A)=m，且rank(A'X)=rank(X)=p下线性变换T=A'Y给回归系数β的GM估计所带来的影响.本文将文献[1]中的条件减弱为rank(A'X)=rank(X)，在此情况下讨论了线性变换后对GM估计所产生的偏差，并且给出同一可估函数的GM估计具有不变性的充分必要条件.

1 两个引理

对于模型(1)，作线性变换T=A′Y，并假定

rank(A′X)=rank(X).

引理1 在线性变换(2)下，可估函数c′β的GM估计c′β*等于模型：

(3)

的GM估计.其中H=VA，PH表示关于内积=a′V-1b向空间u(H)的正交投影，即

PH=H(H′V-1H)-H′V-1.

证明 由E(T)=A′Xβ，Var(T)=A′VA，于是得线性模型：

(4)

当rank(A)0可知u(A′X)⊂u(A′)=u(A′VA).因此可取U=0，即W=A′VA，于是

其中H=VA，PH表示关于内积=a′V-1b向空间u(H)的正交投影，即PH=H(H′V-1H)-H′V-1，引理1得证.

下面用增加伪变量的方法来考察，有如下引理.

引理2c′β*为下列模型(5)中c′β的GM估计

(5)

其中Z是满足

rank(A)+rank(Z)=n且Z′A=O

(6)

的任意矩阵.

证明 不妨设Z是列满秩的，于是(6)式等价PZ+PH=I，其中PZ=Z(Z′V-1Z)-1Z′V-1，I是n阶单位矩阵，于是由引理1知，c′β*是下列模型：

Y=(I-PZ)Xβ+ε

(7)

中c′β的GM估计.而模型(5)中，c′β可估，且其GM估计为

(8)

上式与g一逆的取法无关，由文献[2]中定理1.2.5得

(9)

这个估计就是模型(7)中c′β的GM估计c′β*.引理2得证.

2 主要结果及证明

定理1 线性交换给回归系数带来的偏差为

若rank(A′X)=rank(X)，由R的定义及文献[2]中定理1.1.2和文献[3]中的定理9可得如下推论：

(10)

证明 由于u(X′A)=u{X′A(A′V-1A)-A′X}，故

又由推论2可得

从而定理2得证.

定理3 若rank(A′X)=rank(X)，则c′β*为模型(1)中c′β的GM估计当且仅当c∈u{X′V-1X(X′V-1Z)⊥}，其……