王宏志,王 煜

(通化师范学院 数学系,吉林 通化 134002)

1 径向基函数与Cubic 插值

径向基函数和Cubic插值是散乱数据拟合和任意曲面生成的一种数学方法.

S(xn)=fn，n=1,2,……,N.

选定基函数φ(r):R+→R，由此可生成函数组:

φ(‖x-xn‖),n=1,2,……，N.

显然，它们是定义在Rd上的函数.固定节点xn,则φ(‖x-xn‖)的值仅依赖于x点至xn点的径向距离,故称它为xn点的径向基函数.采用这种基函数,可将待求的函数S(x)表示为

常见的径向基函数有以下几类：

exp(-‖x-xj‖2),

‖x-xj‖3.

最后一类即φ(‖x-xj‖)=‖x-xj‖3称为Cubic基函数.

2 JS模型的一种等价形式

边值条件:

初值条件:

v(x,0)=v0(x),σ(x,0)=σ0(x),

Z(x,0)=Z0(x),

其中

以下的讨论中，假设参数ε>0.

上述JS模型中的动量方程可表为：

αvt-Tx=f，T=σ+εvx

(1)

(2)

由T=σ+εvx,知

Tt=σt+ε(vx)

(3)

最后，将此式和(1)式代入(3)式,并将所得方程与(1)、(2)式联立起来,便推出JS模型的一种等价模型：

(4)

其边值和初值条件分别为

(5)

及

T(x,0)=T0(x),σ(x,0)=σ0(x),
Z(x,0)=Z0(x),

(6)

其中σ0(0)=0.

3 自由网格的计算格式

文中利用MQ基函数求解JS模型的等价模型(4)-(6).

首先,沿时间方向将模型离散化,设

t0

为区间[t0,t*]的一个剖分,记

In=(tn,tn+1),τn=tn+1-tn,

不妨设剖分是均匀的,即τn=τ常数,

此时tn=t0+nτ，n=0,1,…,N-1.在节点t=tn上,建立如下差分方程.

(7)

这是方程(JS)的半离散近似，其中Tn=Tn(x)，σn=σn(x)和Zn=Zn(x)仍然是连续自由变量x的函数.

其中|x-xj|代表欧式空间两点x和xj的距离,φ(|x-xj|)为MQ基函数：

φ(|x-xj|)=‖x-xj‖3.

由计算可得

另外两个未知函数σn(x)、Zn(x)按同样方法逼近.

配置法:将Tn(x),σn(x)和Zn(x)的近似表达式代入(7)式,令

si=xi，i=2,……，N-1,

得如下离散方程.

其中T0(si),σ0(si)和Z0(xi)由方程(6)给出.

这是以未知函数表达式中的系数为未知量的一个代数方程组，解此方程组求出这些系数即可得到所求的近似解.

参考文献：

[1]Y.Y.Renardy,Spurt and Instability in a two-layer Johnson-Segalman Liquid[J].The Comp.FI.Dyn.,1995(7).

[2]Golberge,M.A and C.S.Chen.On a method of Arkinson for Evaluating Domain Ontergrals in the Boundary Elemen Method[J].Applied Mathematics and Comutation,1994,60.

[3]KANSA,E.J.Multiquadrics-a scattered data approximation scheme with applications to comptational fluid dynamics-II[J].Computers with mathematics and application,1990,19.