李华灿，邹翠

（1．江西理工大学理学院，江西赣州341000；2.南昌陆军学院科文教研室，南昌330103）

复合算子G·T的Poincaré型加权积分不等式

李华灿1，邹翠2

（1．江西理工大学理学院，江西赣州341000；2.南昌陆军学院科文教研室，南昌330103）

利用C.Scott,T.Iwaniec与A.Lutoborski等人的有关结论得到了有界域Ω上关于Green算子G和同伦算子T的复合算子G·T的Poincaré-型不等式，进而通过令u=d*v得到作用于共轭A-调和张量的复合算子G·T的Poincaré-型不等式.在此基础上，得到加权Poincaré积分估计式.

积分不等式；复合算子；共轭A-调和张量；有界域；加权

0 引言与预备知识

Poincaré不等式是一个非常有趣且重要的课题，近年来，在此领域的研究已经取得了丰硕的创新性成果：Wing-Sum Cheung于1993年得到了有关Poincaré型积分不等式[1]，2001年证明了几类特定形式的Poincaré不等式[2]；2006年包革军教授[3]证明了关于微分形式的双权Poincaré不等式；2007年王勇[4]证明了在LS（μ）-平均域上微分形式的双权Poincaré型积分不等式，更多有关Poincaré不等式的成果,详见文献[5-7].了解Poincaré不等式的有关成果对进一步研究解析函数的性质[8]很有帮助，因此对Poincaré不等式的研究很有必要.文中研究了有界域Ω上作用于共轭A-调和张量的复合算子G·T的Poincaré-型不等式.

全文假定Ω为Rn中连通开子集，设e1=（1，0，…，0），e2=（0，1，…，0），…，en=（0，0，…，1）为Rn上标准正交单位向量组，用Λl=Λl（Rn）表示由外积eI=ei1∧ei2∧…∧eil所生成的l维线性向量空间，其下标所对应的有序l-丛I=（i1，i2…，il）,1≤i1≤i2≤…≤il≤n，l=1，2，…，n.对于α=∑αIeI∈Λ及β=∑βIeI∈Λ,称<α，β〉=∑αIβI为α与β的内积，其中对所有的有序l-丛I求和.Hodge星算子*:Λ→Λ由规则*1=e1∧e2∧…∧en和α∧*β=β∧*α=<α，β〉（*1）确定，其中α∈Λ及β∈Λ.

Ω上的l-形式ω是一个Ω上取值于Λl（Rn）的Schwartz分布，D＇（Ω，Λl）为所有的l-可微形式空间，将Ω上对所有有序l-丛I满足形式：

记为Lp（Ω，Λl），其中ω是权函数.从而Lp（Ω，Λl）成为范数如下的Banach空间：

类似地，W1，p（Ω，Λl）为所有Ω上的系数属于W1，p（Ω，R）的微分l-形式集.外导……