赵艳辉, 张学军

(1.湖南科技学院数学与计算科学系,湖南永州 425006; 2.湖南师范大学数学与计算机科学学院,湖南长沙 410006)

Dirichlet型空间到μ-Bloch空间的加权Ces‘aro算子

赵艳辉1, 张学军2

(1.湖南科技学院数学与计算科学系,湖南永州 425006; 2.湖南师范大学数学与计算机科学学院,湖南长沙 410006)

主要讨论了Cn中单位球上Dirichlet型空间Dp到μ-Bloch空间βμ的加权Ces‘aro算子Tg的有界性和紧性问题,给出了Tg为Dp到βμ有界算子或紧算子的充要条件.

Dirichlet型空间,μ-Bloch空间;加权Ces‘aro算子;有界性;紧性

1 问题的引进和定义

用dv表示Cn中单位球B上的正规Lebesgue测度,dσ为单位球面δB上的正规面测度.设B表示Cn上的单位球,H(B)代表B上的全纯数类.对[0,1)上的连续函数μ(r)=0,如果存在常数a,b (0＜a＜b),使得

则称μ是[0,1)上的一个正规函数.作为一个加权,正规函数μ通常被用来定义混合模空间[1].设μ是一个正规函数,B上的全纯函数f如果满足

则称f属于μ-Bloch空间βμ;如果f满足

[2]可知,存在常数c＞0,使得

我们知道,D0为Hardy空间H2,D-1为Bergman空间L.

在单复变中定义了如下Ces‘aro算子:

对多复变的情形,给定g∈H(B),定义加权Ces‘aro算子为

文献[1],[10]在单位球中讨论了混合模空间和Bloch型空间上加权Ces‘aro算子的有界性和紧性问题.文献[11]讨论了单位球中Bloch型空间βp之间及Dirichlet型空间Dq之间的加权Ces‘aro算子的有界性和紧性问题.本文的主要工作就是在Cn中的单位球上来给出Tg为Dirichlet型空间Dq到βμ空间的有界算子和紧算子的充要条件.

2 有关引理及其证明

引理2.1[14]若f∈Dp,则

引理2.2 设μ为[0,1)上的正规函数,g∈H(B),则Tg为Dp到βμ的紧算子的充要条件是:对Dp上任一有界序列{fj},如果它在B的任一紧子集上一致收敛于0,就有……