吕洪升, 张千祥

(巢湖学院数学系,安徽巢湖 238000)

二维连续型随机变量相关计算的积分限确定问题

吕洪升, 张千祥

(巢湖学院数学系,安徽巢湖 238000)

对二维连续型随机变量的积分定限问题进行了简要的归纳和总结,并给出了几类常见计算的基本方法和技巧,以期对学生的积分计算有所帮助.

随机变量;分布函数;密度函数;联合分布;边缘分布

公共概率论与数理统计学习中,在一维随机变量的基础上,二维随机变量的概念顺理成章,易于理解和掌握.但二维连续型随机变量的分布函数、边缘分布密度和随机变量函数密度的计算所涉及的积分问题却令人头痛,尤其是积分区间的确定更让人作难,不仅费时费力,还难以准确求出.而教材或辅导材料上都是针对具体问题给出计算方法和技巧,很少有较系统、全面的方法归纳和总结,若遇到新的问题还是难以下手.本文根据自己几十年的概率教学经验,对这类计算问题作一简要归纳,供学生学习时参考.

1 已知随机变量(X,Y)的联合密度函数,求Z=g(X,Y)的分布密度

这类计算由于函数Z=g(X,Y)(假设为连续)的结构不同有各种不同方法,但所有方法都源于分布函数的定义,即先求出随机变量Z=g(X,Y)的分布函数FZ(z),再求导获得密度函数fZ(z),问题归结为如何求出分布函数FZ(z),现具体讨论如下:

设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y),则Z=g(X,Y)的分布函数为

对于这个公式,抽象分析一下,可分为两步完成计算:

第一步,先求出α=min{g(x,y)},β=max{g(x,y)},(这里可能有α=-∞,β=+∞).当z＜α时, FZ(z)=0;z＞β时,FZ(z)=1.因此fZ(z)=0.

第……