李丹青

(电子科技大学数学科学学院,成都 611731)

非负矩阵谱半径的一个新界值

李丹青

(电子科技大学数学科学学院,成都 611731)

在Wielandt定理的基础上进行了推广,得到了一种估计非负矩阵谱半径的新方法,数值例子显示了新方法所得到的结果更为精确.

非负矩阵;谱半径;界

1 引 言

矩阵A=(aij)∈Rn×n的n个特征值λ1,λ2,…,λn组成的集合称为A的谱,其中n个特征值的模的最大值称为A的谱半径,记为ρ(A).Perron-Frobenius定理中指出,对于n阶不可约非负矩阵A,其谱半径ρ(A)是A的特征值并且A有一个对应于ρ(A)的正特征向量.

非负矩阵谱半径的估计作为非负矩阵理论的核心问题之一,许多学者都致力于这方面的研究.其中最有名且应用最多的界值由Frobenius首先得到,即非负矩阵A的谱半径的上下界分别为A的最大行(列)和与最小行(列)和.对于正矩阵A,Lederman,Ostrowski,Brauer对Frobenius界值又相继作了改进.但对于最大行(列)和与最小行(列)和相差很大的矩阵,上述界值并不理想,因此需要更多更好的方法.

目前关于谱半径的界已经有许多深刻的结论,其中有如下的著名定理:

定理[1](Wielandt) 设A=(aij)是n阶非负矩阵,其谱半径为ρ(A),x是n维列正向量,那么

如果A不可约,那么等号成立当且仅当x是相应于ρ(A)的特征向量.

本文将上述定理进行了推广,通过理论和数值例子的证明,可以显示推广后的方法所得到的结果精确度更高.

2 主要结论

引理1[2]设q1,…,qn是正数,p1,…,pn是任意实数,则

当且仅当所有的比值pi/qi相等时,等号成立.

定理1 设A是n阶不可约非负矩阵,x是n维列正向量,则对任意的m∈N+,有

3 数值例……

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