张 静, 张仁忠

(通化师范学院数学系,吉林通化 134002)

极大代数上线性系统的3维最小实现的研究

张 静, 张仁忠

(通化师范学院数学系,吉林通化 134002)

研究了极大代数上线性系统的3维最小实现问题,给出了特征方程为λ3⊕c0λ0=c2λ2⊕c1λ,当c1=,c0=c1c2时,无穷序列存在3维最小实现的充要条件.

极大代数;最小实现;周期序列

1 引 言

(1.2)称为(1.1)的一个实现,(1.1)称为可实现序列.若(1.2)的维数均小于或等于(1.1)中任意一个实现的维数,则(1.2)称为(1.1)的最小实现,且A的阶数称为最小实现的维数.

求最小实现问题是线性系统研究中的一个困难问题,近20年来,国内外许多学者对该问题做了研究,并取得了一系列成果.但寻找存在n维最小实现的充要条件这一问题尚未得到解决,文[1]曾在这方面做了重要探索,给出了一个充要条件,由于至今没有给出该条件的严密证明,将其称为涂奉生猜想.

涂奉生猜想[1]无穷序列0∞存在n维最小实现的充分必要条件为它是一个n阶周期序列.

文[2]给出了存在1维与2维最小实现的充要条件,彻底解决了1维与2维最小实现问题,并说明了涂奉生猜想在小于等于2维的情况下成立,但在大于2维的情况下不成立.文[3]研究了几类3阶周期序列的3维最小实现问题,得到了大部分3阶周期序列存在3维最小实现的充要条件.

本文研究了文[3]未解决的特征方程为λ3⊕c0λ0=c2λ2⊕c1λ,当c1=,c0=c1c2时,序列存在3维最小实现的充要条件问题.

2 准备工作

定义2.1[4]设A为极大代数上n×n矩阵,对于λ≠ε,若存在向量X,使得AX=λX,则称λ为A的一个特征值,X称为特征向……