王积建

(浙江工贸职业技术学院基础部,浙江温州 325003)

多元函数有无穷多个驻点时的极值问题

王积建

(浙江工贸职业技术学院基础部,浙江温州 325003)

讨论了二元函数和三元函数在有无穷多个驻点时的极值的判定方法,并进一步介绍了该判定方法在证明不等式方面的应用.

多元函数;驻点;极值;偏导数

多元函数在一般情况下求极值时,是先找其驻点,即令所有一阶偏导数为零,求解方程组得到驻点,进一步验证驻点是不是极值点.我们的问题是,在一定条件下,函数有无穷多个驻点,它们位于一条曲线上,极值问题怎样处理.例如,函数f(x,y)=x2+y2-2xy,显然对任何实数x,y,f(x,y)有极小值0.但根据二元函数求极值的方法有

即直线y=x上的所有点都是f(x,y)的驻点,在每一个驻点上-fxxfyy=0均成立,这说明用现有的方法不能判定此类情况.为了方便,我们把满足多元函数所有偏导数为零的无穷多个点所在的曲线称为该多元函数的驻线.如y=x为f(x,y)=x2+y2-2x y的驻线,y=±为f(x,y)=sin(x y)的驻线.

假设f(x,y)具有二阶连续偏导数,如果f(x,y)有驻线,即方程组

有曲线解,设为x=φ(t),y=ψ(t),进一步设此驻线为光滑曲线,如果简记二阶偏导数在(φ(t),ψ(t))的值为fij(i,j=1,2),则有

对所有的t成立.这是关于φ′(t),ψ′(t)的线性方程组,因而有非零解的充要条件为

在驻线上处处成立.

同样地,设三元函数F(x,y,z)具有二阶连续偏导数,如果F(x,y,z)有驻线,设x=φ1(t), y=φ2(t),z=φ3(t)为F(x,y,z)的光滑驻线,如果简记二阶偏导数在(φ1(t),φ2(t),φ3(t))的值为Fij(i,j=1,2,3),则有

对所有的t成立.这是关于φ′1(t),φ′2(t),φ′3(t)的线性方程组,因而有非零解的充要条件为

在驻线上处处成立.总……