庄科俊(1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030;2.安徽财经大学应用数学研究所)

时滞Holling－III型捕食系统的稳定性

庄科俊1，2
(1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030;2.安徽财经大学应用数学研究所)

文中研究了一类具有时滞的捕食者－食饵系统正平衡点的稳定性，给出了产生Hopf分支的充分条件.关键词:捕食者－食饵系统;Hopf分支;稳定性;时滞

1 引言

近年来，对具有时滞和功能响应的捕食者－食饵系统周期解的研究，引起了极大的关注，并且得到了一些很好的结果，参见文献［1－3］.本文主要考虑基于比率的Holling－III型捕食系统:

这里N1(t)与N2(t)分别表示食饵种群与捕食种群的密度，系统中各系数均为正常数，b1表示食饵种群的内禀增长率，b2表示捕食者种群的死亡率，α1与α2分别表示相应的转化率，m表示半捕获饱和度.并且τ非负，表示捕食种群的成熟时滞.在没有捕食者的情况下，食饵种群遵循Logistic增长规律.

对于系统(1)，文献［1－2］主要研究了周期解的全局存在性及稳定性，而文献［3］则考虑其对应的离散系统的周期解.受文献［1，4］的启发，我们主要以时滞τ为参数，讨论系统(1)正平衡点的稳定性及Hopf分支的存在性，进而得到系统存在小振幅周期解的充分条件.

2 正平衡点的稳定性与周期解的存在性

为了简便，首先作如下假设:

(H3)a11+a22＜0且a11a22－a12a21＞0.

定理1若(H1)与(H2)成立，则系统(1)有唯一的正平衡点.

证明系统(1)的平衡点(N1，N2)满足方程组

考虑到生态模型的实际意义，下面主要考虑正平衡点的有关性质.系统(1)在正平衡……