☉纪 梅

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出，现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能，要着眼于学生的整体素质的提高。发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感、态度与价值观等方面都要有所发展。培养学生抽象思维和推理能力的数学，要求课程内容要组织处理好过程与结果的关系、直观与抽象的关系，应该以层次化、多样化的方式呈现，满足不同层次学习主体的认知规律。对于小学低段学生而言，其抽象能力还处于萌芽时期，但知识已经向深处延伸，因此根据不同学生知识水平的适切性、层次化，结构性、多样化设计教学，培养学生辩证思维能力，是笔者从高段转到低段教学要做的一件事情。实施中可能与教材不同步，可能有学生不理解，但让学生先期和“辩证思维”这一概念打个招呼，又何尝不可？

一、适切内容，是培养辩证思维能力的基础

小学阶段的学生进入了“具体运算阶段”，皮亚杰的认知理论认为，此阶段（6 ～12 岁）的儿童心理操作着眼于抽象概念，心理已接触但思维活动需要具体内容的支持。我国心理学家林崇德教授从数据显示的均衡度判断，12 岁以后是形成辩证思维能力的好时期。作为一线教师，对照义务教育阶段教材进行梳理，《解决问题的策略》知识内容具体实施应是在3 ～6 年级。这说明随着人们生活水平的提高，孩子的智力发育、思维能力较之前统计的年龄有所提早。在日常教学中，如果遇到实际问题，是引导学生用“辩证”的数学思想思考、解决问题，还是尊重教材统一标准，按部就班搁浅这种情况，暂时不进行这种能力培养；或者是参照皮亚杰认知四阶段，放宽界限，尝试感悟、逐渐理解。笔者认为最正确的答案是“学生”，要以学生现实水平为基础，一切教学内容要“适切”，不能让孩子吃不饱，又不能让班级学生两极分化。最好的结果是愉快的课堂氛围，全体学生共同进步，否则这种尝试毫无意义。［1］

（一）厘清《解决问题的策略》知识结构

《义务教育数学课程标准（2022年版）》的印发促使教材改革又进入了一个新的时期，课程标准的变化促进了教育理念的改变。在苏教版教材《解决问题的策略》中从三年级上册到六年级下册分别在四个年级8 个阶段实施教学，数学思想从三年级“解决问题”入手到四年级的“整理信息”“对象分类”，再到五年级的“有序思考”“可逆思维”，直至六年级的“替换”“假设”“转化”等数学思想的知识结构成长。可以看出，教材是从中年级开始部署“策略”教学，这更符合适龄儿童“均衡”教育的指导要求，同时也显示出“策略”这个知识点是小学生数学思维发展的重要因素。

（二）基于教材，辩证思维能力的适切培养

纵观苏教版小学数学《解决问题的策略》，知识结构起于三年级上册，但实际真正意义上的启蒙早在一年级上册，所以教学中，教师要有数学思想培养的意识。

例如一年级《认识10 以内的数》（见图1），教材只要求学生会按照书中的示意图说一说谁排在第几。按照生活习惯，一般是从前往后数，这是课堂引导。但往往有学生从后往前数，教师会判定他数错了，当场否定了学生的“辩证思维”。如果教师“适切”地肯定两种数法都正确，但要看清楚问题的要求需要你从前还是从后开始数，才能得到正确答案。这样，先肯定学生的思维再提出正确的要求，让学生在经历数学培养初期就明确知识的灵活性以及答案的相对性，取决于它的前提条件，要有规则意识。

图1 认识10 以内的数

如果说，这仅仅只是貌似神合，那三年级上册、下册对解决问题的策略学习就是有意识地进行辩证思维能力的培养了。苏教版三年级上册教材在内容上引导学生“从条件出发分析和解决实际问题”，着手寻找策略；三年级下册注重培养解决问题策略，引导学生在上册“从条件入手想策略”转而到“从问题出发分析和解决实际问题”。这是培养学生在推理思路上既能前行又能后退的辩证能力，让学生在一步一步体验中感知数学的价值。当然，前提需要教师在备课中充分体现两种思维方法的进退自如，相得益彰。适切把教学内容提炼到学生“垫一垫”脚能够达到的程度，采取看似“矛盾”但实际上互相帮助的方法，在轻松有趣的课堂氛围中巧妙实施教学内容，完成教学计划。

二、关系认同，让辩证思维直观可见

（一）基本数量关系的认同。解决问题离不开条件中各数量之间关系的分析。教学中引导学生尝试用各种不同的办法分析数量之间存在的关系，从起初的直观线段图、列表到抽象的数量关系式，让思维在具象形成时期牢靠、有抓手，等学生把分析、判断、推理从直观媒介升华到大脑和抽象关系建立逻辑进而发展成辩证思维能力时，可以说这一知识就有力地夯实在学生的知识库中了。［2］

从一年级的看图列式开始，引导学生对数量关系的理解就被提上了日程，这也是在潜移默化培养辩证思维能力。例如，看图写出四道算式（见图2）。在学生说列式的思考过程时，实际上就是他在不自觉中进行了辩证思维。在学习加、减、乘、除法时，对各部分名称的关系认识只要让学生记住一条，他就可以根据其中的关系举一反三，帮助记忆，加深理解。例如，加数＋加数＝和，和－加数＝另一个加数；被减数－减数＝差，差+减数＝被减数；乘数×乘数＝积，积÷乘数＝另一个乘数；被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数。这种有关系的数量一组一组呈现，就是学生建立辩证思维的时期，也是培养学生数学学科素养的时期。教师要适切把握教学机会，举一反三，达到事半功倍效果。

图2 10 以内的加减法

随着教材的深化，解决问题的策略知识结构日益丰富了学生解决问题的经验。例如，在三年级下册《解决问题的策略》单元，学生在遇到问题：“上衣的价格是裤子的3 倍，买一套衣服要多少元？”学生可以采用教材“画线段图”的方法解决问题。此时，要帮助学生理解3 倍的概念，同时基于之前教学中遇到的学生错把3 倍画2 段的情况，教学中笔者会着重引导学生分清上衣和裤子是1 段还是3 段，是1 倍和3 倍的关系，让学生不会错在两步计算的第一步上；更重要的是帮助学生解决“买一套衣服多少元”的问题，既可以看成是裤子的价格加上衣的价格，还要有思维的高度，即要想到“4 个上衣的价格就是一套衣服的价格”。

（二）复合相差关系的辨识。随着教材的深入，解决问题的策略逐步复杂。苏教版四年级上册通过列表的策略整理条件和问题，这是由两步计算向三步计算解决实际问题的过渡内容。例如，学生在条件逐渐变化时，对数量关系的把握也变得模糊不确定（见图3）。在此例题中，怎样根据题目中相关信息求出每小时放水多少厘米是解决问题的关键。在看似模糊的信息条件中，从变化中寻找不变的过程是解决问题重要突破口，更是学生寻找信息间对应关系的重要步骤。基于三年级的画线段图解决问题、四年级列表解决实际问题这样的思维铺垫，引导并培养学生的思维从能选择一个条件后根据不同方向从一个角度（每2 小时水位下降12 厘米）将复合相差关系的内在变换路径认识清楚。在解决变化多样、关系复杂的实际问题中，学生在梳理、筛选、收集信息、提取条件过程中，思维的辨识得到了锻炼和提高。

图3 列表整理条件解决问题

三、概念理解，需要辩证思维助力赋能

苏教版教材为三至六年级《解决问题的策略》中设有专门单元，这是培养学生提取信息、分析问题、提炼关系的专项研究。除此之外，笔者在日常教学中把这种辩证思维不按常理地经常出现在其他知识点教学中，实践证明知识无边界。［3］

例如三年级上册《分数概念》的教学，笔者在备课中认为这是学生辩证思维能力建立的好时期。在学习“几分之一”的基础上进而进行异分母分数大小的比较：比，学生理解程度参差不齐。这是因为刚刚八九岁的孩子对于分数的认识尚建立在直观表现的理解上，需依托图片建立“同样大的圆纸片，平均分的份数越多，每一份就越小”的眼看为实基础上。学生从参照纸片分析到直观想象，对同一个圆平均分出不同的份数进而得到不同的分数。这一刻，学生仿佛都能轻松比较分子是1、分母不同、分母越大这个分数反而越小的情况，如＞。由于眼中所见，手中所拿，带来较好的课堂效果，让学生举例说明，全班同学基本都能脱口而出。继而，学习几分之几，同分母分数比大小，同样采取先实际操作，并借助直观图片帮助学生理解，同样大的纸张平均分成相同的份数，当然是涂色的份数越多，这个分数就越大。学生也很快在纸张中找出分母是4 的分数，例如、，并且基本上全班学生都能很快比较出＜，课堂形势一片大好。

这堂课是不是就成功了呢？学生对分数的知识通过比大小就掌握了呢？随着异分母分数与同分母分数的同时出现，学生对此却产生了视觉模糊，比大小的立场也不再坚定，脱口而出的学生明显变少了。这是为什么？以往的教学，我们注重培养学生的逻辑思维能力，学生通过观察、比较、顺势推理来获得对知识的理解，仿佛顺理成章，水到渠成。但当、、同时出现比较大小时，学生的知识产生了碰撞，思维变得模糊，判断结果也不容乐观。

离开具象参考，分数的概念在抽象思维中一下子理不清头绪了。笔者从作业频繁擦改中感知，学生应处在模棱两可的知识辨别中，而这时学生的辩证思维能力也正在渐渐产生。此刻，知识的碰撞产生了火花。教师抓住机会，把两种形同、类似的分数通过材料的辨析比较、提炼抽取、归纳概括，帮助学生再次感知“分数”的概念过程。这个过程可能会很花时间，但帮助了学生对分数概念内涵的深挖理解，提升了比较、分类的辩证思维能力。此时，学生的语言表达是建立在分析、理解基础上，而不再是根据逻辑顺序推敲得来的了。

以目前三年级的学生为例，能厘清加减乘除算式中藏有几组可以通过“关系”变化的算式；能在解决问题找策略时首先想对应的数量关系式，知道有序、列举，倒推、逆向思维，能够客观辩证地思考，解决问题。基于班情，笔者在以后的每一节数学课都适切性放手，让大胆、有眼界的孩子们在已有知识、经验和方法的基础上去探索、去创造属于他们自己的数学世界。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是学生所应具备的基本素养。课堂既要培养学生掌握现代化生活和学习中所需要的数学知识和技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力中不可替代的作用。而辩证思维在创新能力中具有不可替代的突破、提升作用，这需要我们一线教师在每日的课堂教学中适切地把握教材培养学生，要把他们看成“小大人”，时不时用数学专业语言熏陶课堂。久而久之，课堂上“小学者”们的思维将尽显“水平”。