孙衣云

【摘 要】本文试从尺规作图教学案例出发，谈一谈尺规作图的教育价值，以及如何在教学中让学生体会尺规作图的优势，突出尺规作图对学生的几何直观和推理意识发展的重要作用。

【关键词】尺规作图 几何直观 推理意识

一、借尺规作图培育学生的几何直观

“在认识线段基础上，引导学生用直尺和圆规作给定线段的等长线段，感知线段长度与两点间距离的关系。”这是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）在第二学段第一次提出运用尺规作图完成的任务，也是为后续学习尺规作图打下基础。我们尝试在学生认识了直线、射线和线段的特征后，让学生作给定线段等长的线段（任务一）。

任务一：请在空白处画一条线段CD，使它的长度和线段AB相等。（图1）

学生利用作图工具开展探究，边作图边思考：作图分为几步，每步的关键是什么？之后，学生整理描述作图过程。学生呈现了多种作图的方法：①有的学生习惯性地选择有刻度的直尺作图，先量出线段AB的长度，然后画一条同样长度的线段，并标上字母CD。②用圆规量AB的長度，用圆规画弧，以圆心为C点，弧上任意一点为D点，连接线段CD。③用圆规量AB的长度，画C点，以C点为圆心画弧，连接C点和弧上任意一点，交点为D点。④从C点出发画一条射线，用圆规量AB的长度，以C点为圆心画弧，弧与射线的交点为D点。最后师生交流各种作图方法，并加以优化。

在用尺规作等长线段的任务中，学生不仅要动手操作，更要构思画法，并用语言描述作图的方法。在此过程中，学生逐渐感受到圆规两脚间的距离可以量长度，无刻度直尺可以画直直的线，尺和规的协作能够作与给定线段等长的线段。

任务二：请用圆规和无刻度直尺，从C点出发画出和线段AB一样长的线段，限时90秒，看谁画得又快又多。（图略）

学生根据任务一的作图经验，用圆规从C点出发可以画出一条半径与线段AB等长的弧，再继续画，可以画出一个圆（图2）。学生发现中心点到弧上存在无数条长度相等的线段，为今后学习圆的特征打下了基础。在这个过程中，学生利用尺规可以画出无数条等长线段，教师引导学生从形象直观的思维角度观察、分析、思考问题，凭借简洁直观的尺规作图巧妙解决了“从C点出发可以画无数条和线段AB等长的线段”。学生用尺规作等长线段的过程中，从直观操作的形象思维，逐步向半抽象、抽象的思维递进，从而发展学生的几何直观，形成良好的思维品质。

二、借尺规作图体会精准刻画的简洁美

作给定线段等长的线段可以用有刻度的直尺来完成，为什么还要学习借助无刻度的直尺和圆规来作图？在教学中如何帮助学生感受尺规作图的优势和价值？让学生画一个任意三角形，学生借助直尺能够很轻松地完成。但是让学生作一个给定线段的三角形，学生用直尺就很难找到第3个顶点。如果能借助圆规画弧的方法寻找第3个顶点，就能轻松画出三角形。所以，用尺规作给定线段的三角形，能很好地让学生感受到尺规作图的优势。

任务三：用下面的三条线段（图3）画一个三角形。

任务三中，教师鼓励学生进行自主尝试，使其产生困惑——想“凑出”第3个顶点非常困难。正是这一困惑引发了学生再次深入思考和讨论，并聚焦“如何能找到三角形的第3个顶点”这一问题开始探究。学生首先想到的大多是用有刻度的直尺不断尝试，但两条线段很难相交于一点，只有一次次调整后才能相交（图4）。有的学生受到用尺规作等长线段的启示，想到用圆规画弧找交点的方法来确定第3个顶点。在找第3个顶点的过程中，教师要适时引导学生思考：如何快速便捷地找到三角形的第3个顶点。让学生尝试用尺规作图的方法找顶点，最后在他们的操作汇报中完成对作图方法的提炼（图5）。

在作图过程中，教师要指导学生养成作图留痕的习惯。留下作图和调整过程中的痕迹，便于学生观察比较，发现“凑点”和画弧的联系，从而找出具体的作图方法。教师引导学生找一找两种方法的相通之处，学生发现把一次次调整的点连起来就是一条弧线，在建立联系中体会了用尺规作三角形背后的道理。通过对两种方法的对比，学生深刻体会到用圆规寻找交点的方法更加直观、简洁和精准。在作图过程中学生还发现，不管先画哪条线段，画出的三角形形状、大小都是唯一的，学生初步体会到三角形的稳定性。

三、借尺规作图孕育学生的推理意识

原先教师组织学生探索“三角形三边关系”时，是用给定长度的小棒搭三角形来判断是否能围成。小棒有粗细，在操作过程中，往往存在误差，使规律探究不严密，如果借助尺规作图来探究“三角形三边关系”将既科学又严谨。学生在任务三中经历尝试、分析、想象、思考等思维活动，落在纸面上的痕迹是其思维的直观体现。将学习经验迁移到任务四的解决过程中，可以发展学生的推理意识，帮助学生感悟数学的逻辑性和科学性。

任务四：同时用线段a和线段b（图6）作等腰三角形。

教师先让学生猜测：“a、a、b”或“b、b、a”能否围成等腰三角形，然后让学生分别用线段a和线段b为底边作三角形尝试验证。学生发现用短线段a当底边，用两条长线段b为腰画了两条弧，两弧相交，画出了这个等腰三角形。如果用线段b当底边，然后用圆规量出线段a的长度画弧，发现画完两条弧之后没有交点，用线段b当底边画不出三角形，即两边之和小于第三边，线段2a长度小于线段b的长度时是围不成三角形的。教师继续引导学生思考探究：当线段2a长度等于线段b长度时能否围成三角形。学生再次用尺规作图，同样发现当两边之和等于第三边时，交点落在了线段b上，也是围不成三角形的。在这个活动中，学生经历了猜测、验证、得出结论的过程，这是一个思维不断进阶的过程，是知识认知从模糊到清晰的过程，从已知推理出未知的过程。借尺规作图探究“三角形三边关系”对学生推理意识的发展，起到积极的推动作用。

需要指出的是，由于尺规作图是首次在小学阶段被提出的内容，教师在教与学的过程中一定会出现困惑。教师务必把握这部分内容对于发展学生的几何直观和推理意识的价值。要鼓励学生不断经历尝试、思考、调整、交流的过程，而不是急于把作图的方法教给学生，让学生照着作图，这样就会丢失尺规作图的教育价值。

（作者单位：浙江省常山县教育局教研室 本专辑责任编辑：王彬）

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］孙晓天，张丹.义务教育数学课程标准（2022年版）课例式解读.小学数学［M］.北京：教育科学出版社，2022.

［3］黄幼红.小学数学尺规作图教学中核心素养培育的“三讲究”——以“用尺规作等长线段”教学为例［J］.小学数学教师，2023（03）：60-63.