■浦叙德

初中数学教材解读的“三四五”方略

■浦叙德

主持人语

高效的课堂教学源于优化的教学设计，而优化的教学设计基于对教材的深度解读。教材为教学活动提供了研究主题和基本线索，是体现课程理念的显性素材，是实现课程目标的有效载体，是实施课堂教学的重要资源。叶圣陶先生说：“教材无非是个例子。”对教材这个“例子”的解读，体现了教师的教学智慧，反映了教师的教研水平，不仅是教师提升专业素养的着力点，更是课堂教学追求长效的基本保障。本期，我们聚焦的话题就是“教材解读”。

对青年教师、成熟教师和专家型教师的数学课堂进行比较、分析、归纳后可以发现：青年教师的课堂着力点基本就在这堂课涉及的素材内容上，成熟教师的课堂着力点是以这堂课为素材核心向前后延伸，而专家型教师的课堂着力点则是以这堂课为素材圆心向四周辐射。从中可以看出，教材解读的长度、宽度、高度直接决定了数学教师课堂教学的效能。下面笔者就围绕着教材解读这个核心问题重点谈谈它的三个层面、四个视角和五个维度。

一、教材解读的三个层面

当前使用的小学、初中、高中的数学教材在编写过程中确实存在不同的编写团队、不同的编写视角、不同的出版部门等现象，因此，存在着对这12年数学教材缺少整体规划、对整个数学知识结构体系缺乏全盘了解等问题。但作为数学教师，应该把小学、初中、高中的数学教材作为一个整体来全面认识，加强各学段教材的上下纵向衔接，左右横向配合，求大同，存小异，进而做到有目标地依次递进，有序过渡。所以，教材解读可以从宏观、中观、微观三个层面去进行。具体如下：

宏观层面解读是指教师把初中3年的数学教材作为一个整体来解读，甚至要延续至小学6年和高中3年的数学教材。我们知道，数学知识具有很强的系统性，很多新知识都是在已有知识的基础上形成和发展起来的。即前面知识是后面知识的基础，后面知识是前面知识的发展。正是因为数学知识的相互联系，才形成了数学知识的整体性和连续性。由于数学知识本身是一个从简单到复杂、从点到线再到面的不断扩大体系的金字塔型整体知识结构，只有从宏观层面进行解读，才能既达成初中3年的数学学段目标，又整体达成基础教育阶段的数学课程目标。如初中几何板块中有“直线、射线、线段”这一内容，而小学几何板块中同样有这一内容，如果不进行宏观层面的教材解读，往往就会重复小学的教学目标和内容。事实上，小学数学教学的重点在于从生活中的现象抽象出直观的“直线、射线、线段”等基本几何图形，直观感知、简单抽象是目标；而初中数学教学的重点在于用几何的文字、图形、符号等数学语言进行表达。两次出现同样的内容，不是简单的重复，两者的教学立意和目标显然是不同的。再如初中代数有“函数”的定义这一内容，高中阶段同样有“函数”的定义，为什么要反复定义“函数”呢？事实上，初中阶段的函数定位在“变量说”，也就是两个变量之间存在着一定的相互依存关系；而高中阶段的函数定位在“对应说”，是两个变量之间的一种对应关系。显然高中阶段的函数定义更一般，是初中函数定义基础上的再抽象。

中观层面解读是指教师把某一章的内容作为一个整体来解读，同时把属于这一知识板块的所有内容与这章内容相联系。现行初中数学教材大多采用混排方式，螺旋上升，时而代数，时而几何，时而统计，时而概率，几乎所有内容在教材中都是时断时续地出现。中观层面的解读不仅有利于一章内容的整体把握，更有利于采用类比与对比的方法进行设计与教学。这一方面有助于学生数学学习经验的不断积累，另一方面教师也可以借助经验提高教学的效能。如我们在学习七（下）“二元一次方程组”时，应该把初中3年所有方程的内容作为一个知识板块来加以解读，这时我们就要综合考虑七（上）已经学过的“一元一次方程”和八（下）将要学习的“分式方程”、九（上）的“一元二次方程”。基于我们在学习“一元一次方程”时是按照“定义、方程的解、解法、应用”的基本思路和方法来进行的，所以“二元一次方程组”也可以按相同的路径实施教学。同时考虑到“二元一次方程组”是在“一元一次方程”基础上的推广与拓展，利用“化归”思想就可以知道“代入消元”和“加减消元”的理论基础来自何方。

微观层面解读是指教师把一堂课的教学内容作为一个整体来解读，同时考虑这节课内容的知识来源与知识走向。通常一堂课呈现的素材是“问题情境——知识形成——知识解析——知识运用与应用”，微观解读实际上就是解决“知识从哪里来”“知识是怎么形成的”“学了这个知识有什么用”“这个知识向哪里发展”等问题。这样一方面可以使每堂课形成一个独立的系统，相对比较完整；另一方面通过解读第一问和最后一问，可以把点状的知识连成线，形成知识关联，为知识线形成知识结构奠定基础。如学习初二代数“分式”的定义这一课时，学生的数学现实（知识基础）是小学的“分数”与初一的“整式”，学生的生活现实是会列出生活中简单问题的代数式，而这些代数式中必然包含分式。因此，本课的解读就可以从小学的“分数”到用字母表示数会产生新的代数式——“分式”，是从特殊走向一般。数、式学习主要服务于运算，类比数的学习，学了整式就需要进行整式的运算，对于两个整式的加减（合并同类项）、乘（整式的乘法），初一都已经学过，当两个整式相除时，又会出现什么情况呢？再结合生活实例，所有的素材都指向“分式”产生的源头，分式概念的形成可谓水到渠成。最后还可以通过“学习了分式的定义，你认为接下来会学习什么”的问题，引导学生通过类比整式的学习，对后续将要学习的分式的性质、分式的计算和分式的应用等发展性知识有所准备。

二、教材解读的四个视角

数学教材看似只提供了简单的情境素材、知识素材和应用素材，每个教师都能读懂，其实不然。因为教材中的素材是一个内涵丰富的综合体，不仅有显性的知识素材，还有隐性的思想方法，不仅有知识之间的相互关联和结构，还有承载在知识技能与思想方法上的数学能力与数学素养，所以，从不同的视角出发可以读出不同的内涵。下面提供教材解读的四个视角，期待给一线教师的教材解读提供一点深层次的帮助。

“生活数学”视角是指在解读数学教材的过程中，要抓住生活与数学的紧密关系，同步考虑数学与生活两条主线，在生活情境中不忘融入数学问题，在数学研究中不忘解决生活问题。因为数学是研究数量关系和空间形式的科学，是对客观现象抽象而形成的科学语言与工具。所以，数学来源于生活，高于生活，优于生活，又服务于生活。小学数学教材更多考虑的是从生活到数学的直观感知；初中数学教材考虑从生活中来，到生活中去；高中数学教材则更多考虑从数学逐步深入地走向生活。由此可见，“生活问题情境（知识产生）——数学知识演绎（形成发展）——解决生活问题（知识应用）”是基础教育阶段数学教材的一条主线。如“反比例函数的定义”这一课，可以通过生活中的2个实例解读先解决两个量之间存在正比例关系与反比例关系的问题，为“反比例函数”名称的引出作好铺垫。从两个量的关系变成两个变量之间的关系，再通过三四个实例的解决，分别得出一次函数、正比例函数与新函数的定义，通过比较、分析，自然产生“反比例函数”的定义。在解读定义内涵与外延的基础上，用反比例函数的定义解决数学与生活中的几个实际例子，这就完成了“从生活中来，到生活中去”的完整循环。

“知识关联”视角是指在解读数学教材的过程中，单个数学知识要找到它的“生长点”与“延伸点”，多个知识要找到它们之间的相互联系——既要找到知识之间的逻辑顺序，又要找到知识之间的实质性联系，时时体现一条知识整体线。因为数学知识有其自身的结构与体系，要通过义务教育阶段的数学学习，让学生体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。由此可见，“知识背景——知识形成——相互联系——知识运用”是教材中的又一条主线。如“整式的乘法”就是建立在“单项式乘以单项式”基础上的知识关联，一旦明白了单项式乘以单项式由“系数、字母及指数”确定的法则后，后面“单项式乘以多项式”“多项式乘以多项式”都可以通过不断转化“退”到最基础的形式加以解决，而后面的“乘法公式”又可以解读成是“多项式乘以多项式”的特殊情形，是从一般走向特殊。

“思想方法”视角是指在解读数学教材的过程中，要把隐含在知识背后的数学思想方法予以揭示，使数学知识与思想方法这明暗两条线，组成设计和教学的双翼。事实上，数学知识与思想方法相伴而生。课程标准中“四基”的提出，明确了知识技能与思想方法的基础地位。教学应该从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习。因为数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，所以，数学中一些重要的内容、方法、思想需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握。由此可见，“知识——方法——思想”是教材中隐含的另一条主线，必须同步解读到位，才能通过问题解决的过程性，达成“四基”目标。

“矛盾转化”视角是指在解读数学教材的过程中，把数学研究的问题作为一种事物，进一步脱去数学“外壳”，进行高度的提炼概括，逐步完成“生活——数学——哲学”的飞跃。事实上，生活与数学中包含了太多的矛盾对立统一体，如已知与未知、特殊与一般、有限与无限、运动与静止、变化与不变、数与形、整体与局部、单一与多样、直接与间接、正与反、一维与多维、简单与复杂等。这些辩证观念有助于学生理性精神的养成，对于初中生来说，这些正是着眼于未来的数学核心素养，一旦获得，终身受益。如“三角形中三条重要的线段”这一课，教材给出的“三角形的角平分线、中线与高”是静态的概念，为什么还要用一根橡皮筋做实验呢？通过解读实验的内涵就可以知道，实验是在线段BC上找一个动点D，通过一般与特殊的原理，找到动线段AD的三种特殊情形，即D为BC中点时，AD就是三角形的中线，AD平分∠A时，AD就是三角形的角平分线，AD⊥BC时，AD就是三角形的高。同样，“垂线段最短”的结论也可以通过一个定点与一个动点组成动线段的长度，利用“一般与特殊”的关系得到结论。

三、教材解读的五个维度

教材解读的首要任务是解读出显性的数学知识技能与隐性的数学思想方法，教材解读的最终目的是优化设计，提高课堂效率，所以，除了上面重点解读的数学知识与数学思想（抽象分析、推理论证、数学模型）两大维度以外，还应该包括更深层次的数学能力、数学意识、数学文化及价值观三个维度。下面再谈谈在教材解读过程中如何着眼于数学能力、数学意识和数学文化及价值观的问题。

初中学生的数学能力主要是指运算能力、思维能力、数据分析能力和直观想象能力，从数学学科基础性功能看，还需要培养表达与交流能力，上述这些能力可以笼统地称为发现、提出、分析和解决问题的四大能力。初中学生的数学意识主要是数的意识、数感、推理意识和应用意识，从时代发展的角度看还需要培养学生的创新意识。数学能力与数学意识是相辅相成的，能力提高有助于意识的形成，反之，意识的形成会促进能力的发展与提高。数学能力与数学意识的发展主要是依靠观察、实验、猜想、计算、推理、验证等过程而获得。所以，教材解读的主要工作就是从教材中的素材出发，设计有趣、有用、有挑战性的问题，在高效的数学活动中体现主体性和过程性，进而在解决问题的过程中培养能力，发展意识。如“变量与常量”，教材提供了“列车从甲地驶往乙地，在16∶17到16∶22这个时段列车行驶过程中，哪些量没有变化？哪些量不断变化？并配图示意时速为200km”的素材，我们可以通过以“问题串”体现“过程性”来达成能力培养和意识发展的目标，即，这个“行程问题”中涉及几个基本的量？（路程、速度、时间）这几个量之间是什么关系？（路程=速度×时间）运动过程中涉及几个地方？（甲、乙）每一种状态下涉及的量分别是什么？在每一种状态下分别研究哪些量没有变化？哪些量不断变化？在学生得出结论后就可以给“常量”与“变量”下定义。

数学文化从狭义的角度看是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。从广义的角度看，除上述内涵以外，还包含数学家、数学史、数学美学、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等。数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学中，主要是让学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动。数学的价值观主要包括应用价值、智力价值、精神价值、美学价值等。解读数学文化和价值观，需要我们把教材中有文化的元素和有数学育人价值的素材进行学科化解读，并把这些素材渗透到教学设计与教学过程之中。如中国古代、现代在数学领域有很大的成就和贡献，这些素材都可以通过数学化呈现给学生，中国有许多著名的数学家，他们研究数学的精神、习惯、方法等都是可以解读的。

综上所述，教材解读是教学全程的开始，而课堂教学是教学全程的终端，教材解读给课堂教学一个支点，只有找到了这个着力点，课堂教学才有基础、支撑和保障。教材解读可以从宏观、中观、微观三个层面去分析，也可以抓住数学生活、知识关联、思想方法、矛盾转化四个视角去实施，还可以从数学知识、数学思想、数学能力、数学意识、数学文化及价值观五个维度去挖掘。如果我们把数学教材的解读做到位，就会有优化的教学设计产生，进而把学生数学核心素养的培养落到实处。

（作者为江苏省中学数学特级教师，现任职于江苏省无锡市新吴区教师发展中心）

本文是江苏省“十二五”教育科学规划（初中教育专项）课题“初中数学教材‘点全·线联·面融式’课时解读的实践研究”的阶段性研究成果之一，课题编号：E-c/2015/26，主持人：浦叙德。