赵忠华

（菏泽学院 计算机与信息工程系，山东 菏泽274015）

矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，矩阵的初等变换是研究矩阵的秩的重要方法［1］.但抽象矩阵秩的计算与证明无法利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，所以抽象矩阵秩的计算与证明是线性代数比较难的内容之一，但其在线性代数的教学与研究中都占有重要的地位，矩阵的秩与线性方程组的解、向量组的线性相关性等知识都有密切的联系，矩阵秩的计算与证明的教学方法一直被广泛讨论.

1 矩阵秩的定义与定理

定义1 在m × n 矩阵A 中任取k 行k 列（k ≤m，k ≤n），位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式.

定义2 矩阵A 的最高阶非零子式的阶数叫做矩阵A 的秩，记作r（A）［2］.

定理1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

定理2 若A为列满秩矩阵，则r （AB）= r （B）［3］.

证明 假设A为m × n 矩阵，B为n × s 矩阵，由于A为列满秩矩阵，所以r（A）= n，m ≥n，存在一个m 阶可逆方阵P，使，于是，所以r（AB）= r（PAB）= r（B）.

定理3 若A 是m × n 矩阵，若AX = O 有非零解，记rs为解集的秩，则r（A）+ rs= n.

2 矩阵秩的例题分析

通过对一般矩阵进行初等行变换，往往能够较好掌握利用矩阵的行秩或列秩来判断矩阵的秩.但是，抽象矩阵是指不给出矩阵的具体元，而是告诉矩阵所具有的某些性质，所以对于抽象矩阵秩的综合题［4］，往往在已知条件和结论之间的联系不是十分明显，不知如何下手.对此类现象，以几个抽象矩阵秩的计算或证明例题的讲解为例，强调分析条件与结论之间的联系的重要性.

例1 （2012年考研数学一试题）设x为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则E－xxT的秩为（）.

分析:作为一个考研题目，要求学生较全面的掌握基础知识，加以综合分析，就本题而言，很显然1为矩阵E－xxT的特征值，而r（E－xxT－E）= r（－xxT）= 1，所以1为矩阵E－xxT的二重特征值，x为矩阵E－xxT一个特征向量，所对应的特征值为0.

解 因为x为三维单位向量，所以xxT= 1，（E－xxT）x = x－xxTx = O.又因r （E－xxT－E）=r （－xxT）= 1，即1为矩阵E－xxT的二重特征值.故E－xxT的三个特征值分别是0，1，1.

所以E－xxT的秩为2.

例2 设A，B为三阶方阵，A2+ A－2E = O，r（B）= 2，求r （AB－2B）.

分析:由于A，B 均为抽象矩阵，考虑利用定理2 来求解.A2+ A－2E = O 的矩阵方程为已知条件，所以所给条件要充分分析整理，因为AB－2B = （A－2E）B，若A－2E为满秩矩阵，则r（AB－2B）= 2.

解 因为A2+A－2E = O，所以A－2E =－A2，A（A +E）= 2E ，A为可逆矩阵，－A2为可逆矩阵.

故A－2E为可逆矩阵，即A－2E为列满秩矩阵.由于r（AB－2B）= r（（A－2E）B）= r（B），已知r（B）= 2，根据定理2 可得r（AB－2B）= 2.

例3 设A为n 阶方阵，且A2－A－6E = O，证明r（A +2E）= r（A－3E）= n.

分析:对于证明矩阵方程作为已知条件的，主要利用矩阵秩的性质与方程组解的性质.

证明 因为A2－A－6E = O，所以（A +2E）（A－3E）= O，r（A +2E）+ r（A－3E）≤n.

又因r（A－3E）= r（－A +3E），所以:

r（A +2E）+ r（A－3E）= r（A +2E）+ r（－A +3E）≥r（A +2E－A +3E）= r（5E）= r（E）= n.

故r（A +2E）= r（A－3E）= n.

例4 设A，B ∈Rn×n，且A2－2AB = E，则r（AB－BA + A）= （）.

分析:本题给出已知条件和要求矩阵的秩，主要是利用矩阵的性质，灵活变换已知条件，来求矩阵的值.

解 因为

所以A（A－2AB）= E.将A（A－2AB）= E 左乘矩阵A－1可得A－2B = A－1.将A－2B = A－1两边分别右乘矩阵A 可得（A－2B）A = A－1A = E.所以:

由式（1），（2）可知AB = BA，r（AB－BA + A）= r（A）.又因A－2B = A－1.所以r（AB－BA + A）= r（A）= n.

例5 设A为n 阶方阵，证明:r（An）= r（An+1）.

分析:因A为n 阶方阵，所以An，An+1都为n 阶方阵，要证r（An）= r（An+1），根据定理3 可知，只需要证明AnX = O 与An+1X = O 同解即可.

证明 设AnX = O，An+1X = O，很显然AnX = O 的解都是An+1X = O 的解.要证An+1X = O 的解也是AnX = O 的解.采用反证法来证明，假设a为AnX = O 的任意解，不是An+1X = O 的解，所以An+1a = O，Ana≠O.所以a，Aa，…，Ana 一定线性相关.所以存在一组不全为零的数k1，k2，…，kn+1使:

因为Ana ≠O，所以An，An－1，…，A 均不是零矩阵，用An，An－1，…，A 依次左乘（3）式，可得k1= k2= … = kn+1= 0，所以a，Aa，…，Ana 一定线性无关.与假设矛盾，所以假设不成立，原命题正确.所以An+1X = O 的解也是An+1X = O 的解.

例6 设A，B ∈R3×3，r（A）= 2，B3= 0，求r（AB－A）.

分析:本题计算矩阵的秩由于AB－A = A（B－E），若能求出矩阵B－E为满秩矩阵，根据定理2 可知，A（B－E）的秩就是矩阵A 的秩.

解 由分析可知，若要出现B－E，因为－E = B3－E = （B－E）（E + B + B2）.所以B－E为可逆矩阵，r（AB－A）= r（A）.又因A，B ∈R3×3，r（A）= 2，故可得r（AB－A）= 2.

通过以上6 个例题说明，对于抽象矩阵求秩或者证明矩阵的秩，主要利用了定理2和定理3 来求解和证明，在教学过程中充分引导学生根据矩阵方程的特点灵活变形［5］，有助于提高学生分析和解决实际抽象矩阵秩的问题的能力.

［1］严坤妹.一类矩阵的秩［J］.福建商业高等专科学校学报，2005，8（4）:59－60.

［2］同济大学数学系.工程数学线性代数［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［3］谢国瑞.线性代数及应用［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［4］陈洪，陶燕芳.矩阵的秩例题教学浅析［J］.湖北成人教育学院学报，2011，17（3）:122－141.

［5］赵忠华.利用“升阶法”计算行列式值的研究［J］.牡丹江大学学报，2012，21（12）:125－127.