孟立平，王国兴

（兰州商学院信息工程学院，甘肃 兰州730020）

发散思维，就是求异思维，它是一种创造性思维［1］.它的思维方式就是从已知信息出发，从多角度、多层次去思考，从而产生新的、独特的结论和解决问题的途径.它包括横向发散、纵向发散、求异发散和穷举发散.它的特点是多向性、变通性、流畅性和独特性，即思考问题时注重多思路、多方案，解决问题时注重多途径、多方式.它要求善于联想、思路宽阔，要求分解组合，引申推导、灵活变通.

对于同一个问题，从不同的方向、不同的层次横向拓展、逆向深入，采用探索、转化、构造、分解等方法得到最佳的解法和方案.只有通过发散思维，才能获得可供分析，综合的信息，以便对问题进行全面、深入的研究.在探索中掌握知识的内在联系，深刻的理解知识、巩固知识和灵活的运用知识.

发散思维在高等数学教学中的典型体现就是“一题多解”和“一题多变”，发散思维贯穿着高等数学教学的各个方面.本文结合题例，讨论“一题多解”和“一题多变”，探讨在高等数学教学中对学生发散思维能力的培养问题.

1 一题多解［2］

例题1 设f（x）在［0，1］上具有二阶导数，且f″（x）＜0，求证:

分析2 考虑到题目涉及定积分，于是想到对f（x）的原函数进行泰勒展开式.

分析3 将积分上限常量看成变量，构造辅助函数两次使用Lagrange 定理来证明.

所以F（x）在［0，1］上单调递减，F（1）≤F（0），即:.

2 一题多变

2.1 将例题1 中的积分区间推广为［a，b］的情形

例题2 设f（x）在［a，b］上具有二阶导数且f″（x）≤0，求证:.

由定积分的性质可得:

因为F（x）在［a，b］单调递减，所以F（b）≤F（a），即:.

2.2 将被积函数f（x）变成f（xn）的情形

例题3 设f（x）在［0，1］上具有二阶导数且f″（x）＜0，求证.

两边积分得:

证毕.

2.3 将区间变为［0，a］，被积函数变为f（u（t））的情形

例题4 设f（x）在［0，a］上具有二阶导数且f″（x）≥0，u（t）为任意连续函数，求证:.

证明 由题设知，f（u（t））在区间［0，a］连续，两端的定积分均存在，将区间［0，a］n 等分，令:

则:

3 结束语

通过上述问题的讨论可以看出，在高等数学的教学中，所体现出的发散思维的最大特征是发散性、可变性、变通性、独特性.高等数学发展的实质就是创新，而发散思维是创新思维的重要成分，所以，在高等数学的教学中应当重视学生发散思维能力的培养.

培养发散思维的方法很多，一题多解是一种重要的方法，通过一道习题抓一类问题，让思维从多个角度，多个方面、以各种观点去分析、去思考，扩充思维领域、培养思维机遇，从多渠道求异途同归的解题新方法;一题多变是另一种重要方法，它使知识纵向深入，横向扩散，从而培养学生分析问题、解决问题的能力.

发散思维是一种求异式、展开式思维，思维从一点出发，可以沿着不同的方向展开，我国数学家徐利治教授指出:“数学中的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维.”他总结概括出了数学创造能力公式:创造能力= 知识量× 发散思维能力.可见发散思维在数学学习中起着非常重要的作用.

［1］宋枚，王爱云，马军英.在高等数学教学中培养学生创造性思维能力［J］.山东师范大学学报:自然科学版，2002，3（1）:81－83.

［2］阎溯，柳森，董芳驰，等.从一道试题谈一题多解与多变［J］.高等教育研究，2002，5（4）:44－46.

［3］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上、下）［M］.第3 版.北京:高等教育出版社，1992.