杨志强　刘一志　郝志伟　于红军

摘  要：力学中的数学方法是运用数学理论知识计算、分析力学在实际工程中的应用的课程，是对复杂、大型工程结构进行严密和精确的强度、刚度和稳定性分析必备的基础理论，更是解决航空航天等領域求解更复杂的相关力学问题的重要研究前提。我国深入实施科教兴国战略、人才强国战略，随着时代进步，社会对人才的需求正在发生变化，人才培养要求不仅具备扎实的理论基础，而且能够解决实际工程问题。据此，该文针对力学中的数学方法课程进行一系列的教学改革，主要包括教材及课程内容改革、教学方法改革、教学手段改革等，旨在提升课程的应用性，理论与实际应用并重，切实提高学生综合能力和创新能力。

关键词：力学中的数学方法；教材；教学方法；教学内容；教学设计

中图分类号：G642.0      文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2024）13-0037-05

Abstract： Mathematical Methods in Mechanics is a course of using mathematical theory to calculate and analyze the application of mechanics in practical engineering. It is a basic theory for the accurate strength， stiffness and stability analysis of complex and large-scale engineering structures. And the course is also an important research premise for solving more complex mechanical problems in aerospace and other fields. China has deeply implemented the strategy of rejuvenating the country through science and education and the strategy of strengthening the country through talents. With the progress of the times， the demand for talents in society is changing. The requirements for talent training not only have a solid theoretical basis， but also can solve practical engineering problems. Therefore， this paper has carried out a series of teaching reforms for the course of Mathematical Methods in Mechanics， mainly including the teaching materials， course contents， teaching methods and teaching means. It aims to improve the application of the course and effectively improve students' comprehensive ability and innovation ability.

Keywords： Mathematical Methods in Mechanics; teaching material; teaching methods; course contents; teaching design

力学是基础科学又是工程科学，描述自然现象、解决工程问题通常都需要运用力学。定量阐述与解决力学问题需要有效的数学手段，就是力学中的数学方法。力学中的数学方法课程目标是使学生掌握力学和计算数学的基本概念、原理和方法，使学生能够正确利用力学和数学的基础理论，解决简单的工程力学实际问题，评定结构的安全性和可靠性。因此，力学中的数学方法及其相关课程是与工程实际联系紧密的课程。

一  国内外课程建设现状

（一）  国外高校力学课程建设情况

目前，美国高校力学中的数学方法课程主要针对计算力学方向[1]，已成为美国近代力学中极为活跃的一门新兴学科，几乎所有高校和研究单位，均开设了该方向的课程。计算力学作为力学学科中将宏观、微观相结合的前沿学科，为工业、能源、安全与国防服务提供了广泛的途径。俄罗斯高校以现代数学形式讨论经典的力学问题，如莫斯科大学的经典力学的数学方法[2]课程等。尽管经典力学是数学或力学专业的学生学习力学等课程的基础，但实际上它的范围已经远远超越理论力学，是现代数学发展的一个重要方面。

（二）  国内高校力学课程建设情况

我国高校力学课程建设相比国外高校起步较晚，存在课程设计相对固化、学科建设不够全面、教学模式过于传统等问题。对此，许多教师针对不同的力学课程进行了相应的教学改革。李俊峰[3]介绍了清华大学理论力学课程体系的改革情况; 韦成龙等[4]针对材料力学的教学改革提出了一种方法并介绍了该方法的运用效果；马崇武等[5]以兰州大学材料力学为例进行了课程教学体系的探索；浙江大学楼文娟等[6]针对弹性力学公式较多、理论难懂的特点对课程内容和考核方法等进行了改革；任军[7]在对国内外调研的基础上，针对高校混合式教学模式改革进行了研究。尽管教学改革研究百花齐放，但是，针对研究生课程力学中的数学方法课程内容建设很少有相关的研究。

（三）  哈尔滨工业大学力学中的数学方法课程现状

哈尔滨工业大学（以下简称“我校”）是一所多学科、开放式、研究型的国家重点大学，以培养研究型人才为主。哈尔滨工业大学在我国较早地开展了固体力学数学方法的研究和应用，在此期间承担了与工程结构分析相关的许多课题，并取得了辉煌的成绩，在国内外有着很大影响力。在总结研究工作成就和教学经验的基础上，盖秉政教授带领团队率先在哈尔滨工业大学研究生教学中开设了力学中的数学方法课程，使哈尔滨工业大学成为较早开设此课程的高校之一，并在国内广泛传播其基础知识。面对世界“新科技革命”竞争态势，我国高等工程教育界面临空前的机遇和挑战。

哈尔滨工业大学力学中的数学方法课程开设较早，教学体系成熟，教学经验丰富，但同时也存在教学模式固化、教学内容有待更新等问题。目前，哈尔滨工业大学硕士生和博士生的力学中的数学方法I和力学中的数学方法II课程，还采用传统的“以教师为中心”的教学模式，教学内容理论性较强。导致学生将力学中的数学方法知识应用于工程实际的能力较差、内容过于数学理论化、对课程的学习兴趣不浓，同时也错失了培养学生动手能力的机会。实际教学中，学生才是课堂的主体，工程应用能力是学生培养的重要目的，这就需要对力学中的数学方法I和力学中的数学方法II课程从教学内容、教学手段和教学方法等方面进行改革，以适应培养创新型人才的需要。

目前我校硕士生和博士生的力学中的数学方法课程选用的教材是盖秉政老师主编的《力学中的数学方法》讲义。这本教材侧重数学基本理论和基本概念，但近年来新的力学中的数学方法在复合材料（包括各向异性材料及非均匀材料等）领域的发展没有体现。尤其对于以国防和航天为特色的高校来说，学生毕业后所从事的工作往往是科学前沿领域，他们理应尽可能在学校了解和掌握最近的学科发展动态和最新的专业知识。因此，编写一本反映力学中的数学方法基础理论与基本概念，同时兼顾这些理论在复合材料领域最新研究进展的教材是十分重要和必要的。

综上所述，本文对于当前如何利用哈尔滨工业大学在国内的力学学科优势，如何发挥教师在教学和科研中的最大作用，如何在课程中引导和促进研究生对知识的理解、培养其有效运用知识和技能解决实际工程问题的能力、使高等教育实现更好的教学效果和更高的质量水平，具有非常重要的研究意义。

二  研究内容

（一）  教材及课程内容改革

优秀的教材是保证教学质量的关键。早在2002年，哈尔滨工业大学盖秉政教授秉承理论严谨、逻辑清晰、由浅入深及易懂易学的思想，编著了《力学中的数学方法》讲义。从2010年开始，果立成教授接替盖秉政教授讲授力学中的数学方法硕士和博士课程，并在原有讲义基础上，针对国内外前沿力学研究领域的相关力学问题逐渐在课程中融入相关数学内容，在课程中加入了支撑固体力学核心领域断裂力学和损伤力学等相关的数学方法。近年来，随着各种新兴复合材料和功能材料的发展，过去主要以均匀材料为研究对象的力学和数学理论正向以非均匀复合材料为研究对象的方向发展。为了反映新兴材料的力学和数学问题，课题组将在最近几年研究生力学中的数学方法课程中，不断结合国内外发展动态，对课程内容进行创新和实践，课程不仅反映弹性力学、断裂力学等核心课程基础理论与基本概念，同时兼顾近十几年来固体力学数学方法研究最新进展，使得哈尔滨工业大学力学中的数学方法研究生教学一直紧密跟踪固体力学的科学研究进展，与时俱进，不断为课程教学增添新的活力。

（二）  教学方法改革

教学方法是指为了达到教学目的而组织的一种有秩序的教师工作方式和学生活动方式的总称，包括了教师的教法和学生的学法。教学方法改革需要紧紧围绕课程培养目标和教学内容，更多关注与学生的互动，把学生作为课堂中心，把实际应用能力作为重要的教学目标。

由于课程部分内容难度系数较高，概念太过抽象，非常不易掌握，纯粹的黑板板书讲解无法促进学生对该部分内容的掌握和灵活运用。因此，为了进行“国际化、创新型”人才的培养，课程组拟采用“研究型教学”“启发讨论式教学”“课程思政”等教学方法。

（三）  教学手段改革

以课堂、教师、学生为核心的传统教育模式中，以教材为蓝本的课堂面授成为教学的主要形式，这种信息传递方式很大程度上受到时间和空间的限制，在沟通形式上缺乏灵活性，同时也不利于教学资源的共享。因此，需要在教学手段上进行改革。

三  具体实施计划

（一）  教材及课程内容改革

课程内容改革主要体现在以下几个方面。

1）传统的力学中的数学方法教材研究对象主要针对弹性力学的数学方法和理论，而目前课程研究已经发展到针对包括弹性力学、断裂力学、损伤力学和计算力学等核心课程，并延伸到非均匀、多相、各向异性材料领域。

2）张量初步的内容引入了细观力学、断裂力学相关的J积分、交互作用积分内容。相关研究以“洪堡学者”、日本学术振兴会研究员于红军教授等的研究成果为支撑。

3）傳统课程主要关注材料的宏观数学和力学理论，而目前课程紧跟国家力学领域的重大需求且在已有内容的基础上适当加入最新的数学力学理论。因此，本课程适当地增加了多尺度力学及数学方法近年研究进展。这部分内容以杨志强老师在计算力学顶级期刊发表多篇成果作为支撑，包括与国际计算力学领域著名学者、美国哥伦比亚大学Fish教授在多尺度领域的合作成果。

4）由于过去计算机水平及模拟手段的限制，传统课程过多叙述理论而缺少灵活的、更具有工程意义的数值模拟。因此，本课程系统地讲解了力学中的数学方法包括有限元、不同多尺度模拟方法的基本理论及数值实现，通过实践让学生们能够还原材料或结构的开裂过程。增加趣味性，激发学生的学习及研究热情。

课程教材改革将在哈尔滨工业大学盖秉政教授编著的《力学中的数学方法》讲义的基础上，并选用哈尔滨工业大学程靳教授编写的教材《断裂力学》，该教材为科学出版社重点教材。同时，加入多尺度相关的数学方法最新的研究进展，使得哈尔滨工业大学力学中的数学方法研究生教学紧跟固体力学的科学研究进展。这些改革使得研究生力学中的数学方法课程授课紧跟国内国际研究现状，课程内容建设与时俱进，多种教学手段使得本课程充满趣味性。研究生力学中的数学方法课程建设使包括力学学科在内的多个专业的研究生受益。

（二）  教学方法改革

1  研究型教学方法

研究型教学致力于引导学生“在学习中研究，在研究中学习”，鼓励学生不要满足于书本上知识，要研究和掌握书本没有的东西。在课程讲授过程中，首先针对抽象概念解释分析，深入浅出，针对学生思维难点剖析讲解，为学生搭建全面系统的知识体系，帮助学生夯实专业基础；同时，在授课过程中应把当前的研究热点与所讲授内容紧密结合起来，让学生了解本学科研究热点与前沿问题。课程几任主讲教师的主要科研方向涉及断裂力学、计算力学和应用数学，能够时时掌握固体力学领域的研究动态，将之穿插于教学中，将基本理论与实际工程案例及前沿问题相结合，激发学生科研兴趣。同时，将科研思想渗透到每一次的课堂授课之中，提高学生的科研能力。

2  啟发讨论式教学方法

课堂教学需要在授课教师的启发引导下，由学生完成自主思考、知识内化，而讨论式、互动式等教学方法，可以让学生更好地参与到课堂教学中，能够进一步激发学生的热情和积极性。因此，课程改变传统的教学模式，将灌输式改为启发讨论式。在授课过程中加强课堂启发和讨论，发挥教师的主导作用，充分调动学生学习的主观能动性与积极性。过程如下。

1）提出问题，引起思考。启发讨论式教学中新课的引进，往往是从一些具体问题开始的。

2）抓住要害，深入讨论。当新课课题提出之后，老师并不急于进行系统的讲授，而是抓住要点，组织学生自己去进行探索。

3）画龙点睛，引出结论。

4）继续深入，提高认识。在学生通过自己的探索得到了新的知识以后，又组织一些新的问题，引导他们进一步深入讨论，提高认识。

启发讨论式教学方法包括课堂讨论法、五“让”教学法、案例教学法等，用于转变教学模式，引导学生成为课堂的主体。运用课堂讨论教学法，以小组或班级整体形式讨论重点难点，帮助学生提高表达能力和逻辑思维能力，便于教师发现学生思维误区、及时调整教学方法；结合教学内容，选择性运用五“让”教学法，即书本让学生读、见解让学生讲、重点难点让学生议、规律让学生找和总结让学生写，通过自主学习，提高学生对知识的系统理解和概括能力；使用案例教学法，将理论学习与实际相联系，提升学生学习兴趣和分析能力。

3  课程思政教学方法

本课程思政教育教学主要以“坚持理论性和实践性相统一、坚持价值型和知识性相统一、坚持主导性和主体性相统一、坚持灌输性和启发性相统一”为原则，将思想政治教育贯穿于教学全过程，启发学生思考，旨在立德树人、润物无声。方法如下。

1）以知识点讲解为依托，实现价值观的同频共振。以专业技能知识为载体进行思政教育，具有强大的说服力和感染力。本课程在知识点讲解过程中，将以相关背景知识、著名科学家等为切入点，结合思政元素开展教学，进行爱国主义教育，树立远大理想，为学生构建正确的道德观和价值观。

2）以厚植信仰为根基，激发学生自信心和自豪感。我校扎根东北、艰苦创业，打造了一大批国之重器，培养了一大批杰出人才。以他们为榜样，介绍我校在航天领域的卓越贡献，能够激发学生的自信心和自豪感。杰出校友的事迹更能够引起学生共鸣，更能充分阐释哈工大精神，并激励学生以此为榜样，以爱国奉献为信仰，树立远大理想。

3）兼顾学生心理健康，全方位进行人才培养。大学时期是学生的世界观、人生观、价值观形成的重要时期。对学生的培养不仅仅是知识讲授，为学生构建正确的“三观”同样重要。本课程在授课过程中，针对如何进行团队协作、艰苦奋斗，怎样面对困难等学生成长过程中可能面临的困惑和问题，进行解答，旨在为学生树立正确“三观”，注重人才培养全面性。

4）运用新媒体，丰富授课方式。本课程除了PPT及板书讲解，还通过视频、图片、互联网等新媒体，丰富课程表现形式，增加课堂的趣味性，有利于学生提高注意力，加深印象，提升学习效果。

（三）  教学手段改革

实现板书与多媒体的结合，学术与教学的结合，课堂内容与思政内容的有机结合。增加了断裂力学、多尺度力学等反映国内外近十几年研究进展的教学模块，极大地增加了课程的信息量，丰富了学生的学术眼界，显著提高了学习兴趣。力学中的数学方法课程内容与时俱进，解决固体力学理论与应用数学理论阐述的有机衔接问题，有选择地纳入近年来涌现的代表性固体力学数值模拟方法中典型成果，适当拓展非均匀材料多尺度新问题，实现与宏观力学方法的合理衔接。将传统基本理论与新材料数学、力学问题合理衔接，以最为合理的方式为学生传递科研思想。这些内容的成功引入为推动其他研究生课程内容改革提供了宝贵经验。

针对力学中的数学方法具有显著的学术研讨特性，专门设置了自由讨论课堂，主讲教师提出教材以外的力学和数学问题，引发学生广泛深入讨论；同时，学生可以自由提出教材以外的任意断裂力学相关问题，由教师与学生共同讨论，培养学生基于断裂力学的思想去发现问题和解决问题的能力。将知识点讲授与思政内容相融合，不仅向学生传授了知识，同时为学生树立正确的人生观、世界观和价值观，引导学生厚植爱国之情，砥砺强国之志，实践报国之行。另外，充分利用腾讯会议、QQ课堂等平台，结合课件进行授课。

四  授课与考核方式与方法

博士生考核以学生课堂讨论和提交报告的形式进行，提交报告主要结合自己的科研方向和课上内容，探讨并分析一些开放性未解决的课题。硕士研究生主要以平时成绩和期末成绩组成（平时成绩30%，期末成绩70%）的形式进行考核，平时成绩包括课堂发言和算例讨论，期末考试中增加开放性问题的考核比重，将学生分析问题和解决问题的能力、思维能力与创造能力融入考核范畴。

哈尔滨工业大学研究生课程力学中的数学方法包括力学中的数学方法I和力学中的数学方法II，授课对象为全校硕士研究生和博士研究生，每年包括机械、土木、交通和力学等相关专业学生100多人。课程受到学生广泛欢迎并给出较高评价，见表1。课程主讲教师果立成老师研究生网上评教全部为“A+”和“A”，杨志强老师2022年研究生课程学生评教97.62分，评级为优。针对哈尔滨工业大学研究生课程力学中的数学方法近两年的實践（硕士研究生90人，博士研究生25人），从图1中可以看出，学生普遍认为在学习课程的过程中，课程内容比较丰富，对学生利用学到的力学知识解决实际的工程问题有积极作用，认为课程对解决实际工程有用的比例达到92%。

五  结束语

本文通过哈尔滨工业大学研究生力学中的数学方法课程改革，以培养创新型人才为目标，融合课堂教学、多媒体、课程思政等教学方式，培养学生的自主学习、独立思考、科研创新及实验动手能力。主要包括以下三方面创新。

1）将教学内容从传统的针对均匀材料的数学理论扩展至最近十余年受到普遍关注的针对非均匀材料属性及多相复合材料力学问题的数学方法，与时俱进，引导学生关注科学前沿问题，根据培养目标纵向挖掘，适当提升了课程的深度。

2）本课程适当引入损伤力学、断裂力学、多尺度力学、多尺度模拟算法的内容，更系统全面地架构知识体系，显著提升了课程的信息量、学术内涵和实用性，横向拓展课程广度及学生知识面。

3）充分利用主讲教师在力学、数学领域的多年研究积累，不预设问题，鼓励学生自由提问，并有效地把思政内容和教学内容融合在一起，引导学生思考，培养学术思维，同时对学生进行思想教育，关注学生心理健康。做到传道授业解惑，培养全面的创新型人才。

参考文献：

[1] JACOB FISH. Practical Multiscaling [M]. Wiley， 2014.

[2] [俄]В.И.阿诺尔德.经典力学的数学方法[M].齐民友，译.北京：高等教育出版社，2006.

[3] 李俊峰.理论力学课程体系改革探索与实践[J].中国大学教学，2008（4）：10-13.

[4] 韦成龙，李学罡，徐飞鸿.材料力学教学内容改革的研究与实践[J].力学与实践，2002（3）：53-54.

[5] 马崇武，车京兰.对材料力学教学改革的研究[J].高等理科教育，2004（6）：76-78.

[6] 楼文娟，梁洪超，杨骊先.《弹性力学》课程教学改革探析[J].高教论坛，2015（7）：40-44.

[7] 任军.高校混合式教学模式改革推进策略研究[J].现代教育技术，2017，27（4）：74-78.

基金项目：哈尔滨工业大学研究生教育教学改革研究项目“硕博共选课程《力学中的数学方法》教学改革研究”（22MS001）；哈尔滨工业大学研究生课程思政教学改革项目“力学中的数学方法”（XYSZ2022033）；黑龙江省自然科学基金项目优秀青年基金“非均质复合材料热-力耦合问题的非线性跨尺度方法研究”（YQ2021A005）

第一作者简介：杨志强（1984-），男，汉族，黑龙江齐齐哈尔人，博士，副教授，博士研究生导师。研究方向为复合材料多尺度计算。