王颜 吴多康 李月峰 孟丽

摘 要：在数学教学中融入我国古代数学成就，是激发学生的民族自豪感和培养爱国主义情怀的重要途径，同时能够增强课堂教学的趣味性，提高学生对数学的学习兴趣。文章以十二平均律、《纪元历》中的太阳坐标换算、刘徽对圆面积公式的证明为例，探讨如何在高职数学教学中融入和运用中国古代数学成就。

关键词：高职数学；中国古代数学；十二平均律；割圆术；反函数

Abstract：Integrating the achievements of ancient Chinese mathematics into math education is an important way to stimulate students' national pride and cultivate patriotism.It can also enhance the interest of teaching and increase students' enthusiasm for learning mathematics.This article takes the twelvetone equal temperament，the calculation of the sun's coordinates in Jiyuan Calendar，and Liu Hui's proof of the formula for the area of a circle as examples to explore how to integrate and apply ancient Chinese mathematics achievements into vocational math education.

Keywords：vocational mathematics；ancient Chinese mathematics；twelvetone equal temperament；cyclotomic method；inverse function

我國古代数学源远流长，诞生了许多杰出的学者和举世瞩目的成果。通过在数学教学中融入我国古代数学成就激发学生的民族自豪感是进行爱国主义教育、发挥数学课程德育功能的常用方法。［1］数学史的融入可以使数学人性化，提高课堂教学的趣味性，激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神。［2］教学普遍使用的具体案例主要有分数运算法则、圆周率的计算、勾股定理的证明和应用、负数的引入、秦九韶算法等。

由于高职学生的数学基础相对比较薄弱，因此高职数学的教学内容在作为主体的微积分之前，通常要补习部分中学的数学知识。本文将朱载堉创制十二平均律、姚舜辅在《纪元历》中对太阳坐标的换算这两项在以往的数学教学中应用相对较少的古代数学成就，分别应用于等比数列及指数幂、反函数等中学数学知识的复习教学中。在微积分部分的教学中，通过刘徽以割圆术证明圆面积公式的过程辅助对极限概念的学习。

一、十二平均律与等比数列及指数幂

古代音乐率制主流是西方的五度相生律和我国的三分损益率，其得到音阶中各个音频率的方法基本相同：选定第一个音的频率，然后通过给一个音乘1∶2、2∶3、3∶4等简单和谐的比例关系得到另一个音的频率。同时两者也存在类似的缺陷：计算出的最后一个音与第一个音频率之比不是严格的2∶1，计算到最后一律时不能循环复生，产生了困扰人类两千余年的“旋宫转调”难题。

直到我国明朝数学家、音律学家朱载堉创制“新法密率”——即十二平均律，才使这一问题得到解决。［3］十二平均律将一个八度音程以等比的形式平均分成12分，构成一个首项为1，公比为21/12，共13项的等比数列。这样所得最后一个音与第一个音频率之比是严格的2∶1，完美地实现了旋宫转调。分别用十二平均律与五度相生律所得音阶中的各个音，若第一个音频率相同，则其他音的频率相差很小，亦即十二平均律的各个音间也近似满足简单和谐的比例关系。因此直到现在十二平均律被世界各国广泛采用。

在课堂教学中，学生可以在十二平均律各个音之间相互求取，或计算任意间隔的两个音的频率之比，特别是验证十二平均律的最后一个音与第一个音频率之比是2∶1。这些过程涉及等比数列通项公式、有理指数幂的运算法则等高中数学知识。根据具体学情还可以选择性地介绍五度相生律或三分损益率的计算方法，并将所得的各个音与十二平均律的计算结果进行比较，验证十二平均律的各个音之间的频率之比也近似满足简单和谐的比例关系这一数学上的奇妙巧合。

我国古代数学中对开平方和开立方有成熟的方法。朱载堉在进行具体计算时，巧妙地对2连续开两次平方，再开一次立方得到公比21/12的高精度近似值，对这一过程的理解可以帮助学生掌握幂的乘方运算法则，以及根式与分数指数幂的相互转化。

十二平均律曾经在2018年进入北京高考试卷，这道选择题的考查内容和难度都十分适合作为高职数学课的课堂练习，题目如下：

“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献。十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122。若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为：

A.32f   B.322f   C.1225f   D.1227f

十二平均律是数学与音乐的奇妙融合，将其运用于课堂教学之中，可以让学生深切领悟数学之美。

二、《纪元历》中的反函数

反函数是高中数学的重要内容，在微积分里也有广泛的涉及。宋朝天文历算学家姚舜辅在编制《纪元历》这一古代历法的过程中，定义了一例精确的反函数。这是中国数学史上最早明确出现的反函数例证。［4］

古代历法计算中通常要用到太阳黄道和赤道坐标的互换，一般是以太阳赤道度数为自变量x，计算因变量黄道度数y。比如在《纪元历》中，两至点前后的函数关系为：

y=x-x（101-x）1000（1）

显然这是一个二次函数，在实数集上是没有反函数的。但冬至到春分这一时间范围内，0≤x≤45.65545，由该二次函数图像（图1，也可通过计算顶点横坐标或导数正负）可知，以此范围为（1）式定义域所得函数为单调函数，故可求其反函数。

对（1）式变形得：

x=-449.5± 202050.25+1000y（2）

因为x≥0，所以对（2）式取正根，并用x表示自变量，y表示因变量，即得（1）式在0≤x≤45.65545时的反函数表达式为：

y=-449.5+ 202050.25+1000x（3）

这个函数便是姚舜辅所求得的冬至到春分由太阳黄道度数反算其赤道度数的公式，根据反函数与其直接函数的关系，其值域是（0，45.65545）。定义域可以作为课堂练习由学生求出。

春分到夏至间太阳黄道度数y与赤道度数x的函数关系为：

y=x+x（101-x）1000（4）

赤道度数范围仍为0≤x≤45.65545。课堂教学中，讲解（3）式推导过程后，可以让学生求取该函数的反函数，包括定义域和值域，以此巩固和检验对反函数的掌握程度。

我国古代编制历法的过程本质上就是用数学方法计算和预测天体的位置，因此很多数学成就都来源于天文历算的需求，比如著名的中国剩余定理就与计算“上元积年”有关。本例也是天文历算推动数学理论发展的一个例证，期望学生能通过对此内容的学习和思考，唤起了解我国古代天文历法的学习热忱。

三、割圆术与圆面积公式的证明

极限思想是微积分的基本思想，理解极限的概念对学习微积分是至关重要的。魏晋時期数学家刘徽发明的割圆术是极限思想在几何上的应用，在极限的教学中也被广泛应用。在很多结合割圆术的极限教学案例中，对割圆术的运用侧重于求圆周率和圆面积，而刘徽发明割圆术的目的——证明圆面积公式［5］反而没有得到充分的体现。本节尝试将刘徽应用割圆术证明圆面积公式的过程运用到极限概念的教学中，以期在帮助学生理解极限概念的同时，提高学生进行推理证明的意识和能力。

为证明《九章算术》中“半周半径相乘得积步”的圆面积公式：

S=12Lr（5）

刘徽依次作圆的内接正6×2n（n=0，1，2，3，…）边形，如图2所示：

图2 割圆术示意图

假设圆面积为S，内接正6×2n边形（即第n+1次“割圆”所得图形）面积为Sn，因为圆内接正多边形与圆周间的空隙总是存在的，所以Sn＜S恒成立。同时随着n的增大，圆内接正6×2n边形与圆周间的空隙越来越小，S-Sn的值越来越小，当n无限增大时，S-Sn无限接近于0，即：

lim（n→

SymboleB@S-Sn）=0（6）

所以：

limn→

SymboleB@Sn=S（7）

作正k边形中心与各顶点的连线，可将其分为k个边长为lk、高为边心距h的全等三角形，正k边形面积A等于这些三角形面积之和，因此可得正多边形面积公式：

A=k·12lkh=12klk·h=12Lkh（8）

其中Lk为正k边形的周长。

由此可知，正多边形面积等于周长与边心距乘积的一半。而当n无限增大时，圆内接正6×2n边形与圆重合，此时其周长等于圆的周长L，边心距等于圆半径r，由式（8）可得：

limn→

SymboleB@Sn=12Lr

再结合式（7），即可得到圆面积公式（5）。

以上便是应用割圆术证明圆面积公式“半周半径相乘得积步”的完整过程，这一过程体现了极限思想和清晰的逻辑推理。在课堂教学中根据具体学情不同，可以选择由学生独立完成、教师引导学生完成或师生共同完成这一数学证明。在此过程中学生在加深对极限概念的理解的同时逻辑推理能力也得到训练。向学生介绍刘徽的这一成就可以使学生认识到我国古代数学家有相当深度的推理证明意识，因此中国古代数学过于重视实际应用而轻视理论的观点是片面的。

结语

本文选取了我国古代数学的三项优秀成果，尝试将其融入和运用到高职数学教学中。这些成果能够与高职数学的学习内容有机结合，帮助学生理解、掌握所学知识和方法，其难度也与高职学生的学情比较相符。这些内容的融入能够提高课堂教学的趣味性，使学生体会到数学的美感和应用的广泛性，激发学生学习数学的兴趣；也有利于增加对我国古代辉煌的数学成就以及相关的科技文化知识的了解，有利于培养学生的民族自豪感和爱国主义情怀。

参考文献：

［1］黄群宾.如何在数学教学中突出爱国主义教育［J］.教育与职业，2004，459（30）：6667.

［2］李菊梅.《九章算术》的教育价值［D］.上海师范大学，2010.

［3］段耀勇，刘鹏，周瑞琪.中国传统数学与“十二平均率”的产生［J］.赣南师范学院学报，2005（06）：2224.

［4］曲安京.中国古代的二次求根公式与反函数［J］.西北大学学报（自然科学版），1997（01）：13.

［5］郭书春.关于刘徽的割圆术［J］.高等数学研究，2007，117（01）：118120.

基金项目：苏州高博软件技术职业学院2022年校级教改课题（课程思政专项），课题编号：JG202204

作者简介：王颜（1989— ），男，山东潍坊人，硕士，讲师，研究方向：高等数学教学。