刘 勇 沈 婕 王洪亮 李 瑛 谭 毅 刘新亮

一、问题提出

《高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》（以下简称“课标”）是普通高中数学课堂教学的圭臬，也是高考命题依据。高考试题遵循“一核、四层、四翼”的命题标准，即以“立德树人、服务选才、导向教学”为命题的核心，主要考查“必备问题、关键能力、学科素养、核心价值”，试题具有“基础性、综合性、应用性和创新性”的特点[1]。高考试卷在体现这些特点的基础上，还要与课标要求保持高度一致性，才能实现“教考合一”，正确“导向教学”。因此有必要用科学的方法对高考试题与课程标准的“一致性”进行分析。

研究借鉴了SEC（Surveys of Enacted Curriculum）的分析方法，采用课标与试题编码的对应关系进行一致性分析，即按照预设的编码框架，先将课标中的内容要求进行分解，按照所要求学习水平进行编码；再结合试题内容及学生答题表现，对高考试题的考查水平进行编码；最后将课程标准和试卷的编码统计结果进行对比分析，得出相关结论[2]。

二、一致性分析框架

（一）课程标准分析框架[3]

课标从教学内容和数学核心素养两个维度提出了学生要达到的水平，借鉴SEC 一致性范式分析对此标准进行编码。参考李欣欣等对认知水平的编码方法，对“了解、理解、掌握”等表示结果目标的行为动词进行分类，具体结果见表1[4]。将四个内容主题顺次编码为1、2、3、4；再对每个内容主题下的二级主题用1、2、3…进行编码；接着对二级主题下的子目标做进一步编码；最后将三个认知水平依次用“A”“B”“C”进行编码，即“水平一”记为A、“水平二”记为B、“水平三”记为C。例如，“在具体情境中，了解全集与空集的含义”，其编码为“1.1.3A”。

表1 表示结果的目标行为动词归类

核心素养水平编码时要考虑核心素养的表现水平与问题情境的熟练度、技能的难易度、思维及表达的创新度、以及交流与反思的规整度，具体划分方法参照课标中“附录”部分。六个核心素养的编码为：1-数学抽象，2-逻辑推理，3-数学建模，4-直观想象，5-数学运算，6-数据分析。核心素养水平分别记为A-水平一，B-水平二，C-水平三。

课标要求编码示例：

例如课标的内容要求为“经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义”，解决此问题直观想象素养要达到水平三的要求，数学运算素养要达到水平二的要求和逻辑推理素养要达到水平三的要求，所以其编码分别为2.3.11C4C、2.3.11C5B和2.3.11C2C。

（二）高考试题分析框架

试题情境是考查数学核心素养和学生认知水平的载体。试题的情境包括现实情境、数学情境和科学情境，每种情境又可分为熟悉情境、关联情境和综合情境。问题是指在情境中提炼出的数学问题，从考生认知的角度可分为简单问题、较复杂问题和复杂问题。

简单问题通常运用基础问题和基本技能以及简单的数学思想方法和基本活动经验即可完成，考生解决此类问题可认为达到知识的认知水平一的要求。

较复杂问题通常是将两个或两个以上的问题情境关联在一起，多为同一单元内问题的关联。该类问题的解决通常需要考生能够辨析出问题与问题间的关系，并形成有序的解题思路，能清晰地表达条件与结论间的关系，与对数学思想方法的理解和运用程度有直接的关系，考生解决此类问题可认为达到知识的认知水平二的要求。

复杂的问题通常是将多种问题情境交织在一起形成的新问题，具有参数多、情境新、思路分散、运算困难、图形复杂等特点，问题的表述也较为陌生。此类问题的解决通常需要考生整体规划解题思路，并能发现和提出一些具有辅助作用的问题，能将猜想和论证的思维过程清晰表达，一般此类问题的解决与考生的创新能力和思辨能力相关，考生解决此类问题可认为达到知识的认知水平三的要求。

试题所考查的核心素养水平与试题的难易程度、试题的创新度、情境的熟悉程度和情境的关联度相关。在分析试题核心素养水平时，仍参考“课程标准”中附录部分对核心素养水平的划分，将其分为三个水平。

水平一是指在单一的问题情境中考查学生核心素养，试题考查一个或同一个单元内两个简单问题，并考查一个较为明显的核心素养。试题所对应核心素养具有抽象直白、推理简单、模型熟悉、运算量较小、图形单一、数据明确的特点，并容易用数学符号语言表达。

水平二是在关联的问题情境中考查学生的核心素养，试题考查两到三个知识点，通常是单元内部的关联或是单元与单元之间的关联，问题解决需要运用数学思想方法进行思考，试题中所含的为两个及以上数学核心素养或对某个核心素养较为深度的考查。该水平的问题表达一般是经常运用并具有一定逻辑性的数学符号语言。

水平三是在复杂的问题情境中考查学生的核心素养，试题通常是多个问题点与多种数学思想方法的综合，具有一定的创新性，考查学生综合解决问题的能力。试题需要经历猜想、推理、想象等综合的思维过程，包含多种数学核心素养。该水平的问题表达形式较为复杂，要运用大量的数学符号语言和图形语言进行描述。

问题情境的复杂程度分别用“A”“B”“C”进行编码，简单问题记为A，较复杂问题记为B，复杂问题记为C。核心素养水平编码同课标要求的数学核心素养编码规则，其中一道试题可由多组编码构成。

试题编码示例：

按照以上分析思路，对试卷各题目进行编码分析，并对照课标的编码进行一致性分析，见表2。

表2 试题编码与课程标准一致性分析

三、一致性分析结果

（一）试题情境与课程标准的一致性

根据上述试题情境与课标内容的一致性表现，结合试题所占分值其分布，分析结果见图1。

从试题情境与课标要求的关系上看，虽然完全一致的占56.67%，但低于课标要求的24.67%的试题中，均为熟悉的关联情境，考虑这个关联的因素，这些内容也可视为与课标具有一定的一致性，这样共有81.34%的题目与课标保持较高的一致性。

（二）试题所考查核心素养与课程标准的一致性

试题对6 个核心素养均有考查，结合素养所占分值其分布（一题含有多个核心素养的，按核心素养的权重赋分值，含选择填空题），其一致性表现见图2。

图2 试题核心素养与课程标准的一致性表现

从核心素养的一致性上看，2023 年高考数学天津卷在核心素养考查上与课标保持了高度的一致性，完全一致的占全卷的72.67%。低于课标要求的18%试题中，有部分题目是一个题目中含多个核心素养，例如17（1）、18（1）中均含两个核心素养，这样必然会提高对学生核心素养水平的要求，也可以说是考查到核心素养水平二的要求。

（三）一致性与考生作答表现的关系分析

根据考后数据，得分率0.7 及以上的为容易题，得分率在0.4~0.7 的为中等题，得分率在0.4 以下的为难题。结合试题情境与课标内容的一致性，其难度分布见图3。

图3 试题情境与课标内容的一致性与试题难度的关系

从该图表不难看出，试题与课标的一致性与考生作答情况有着直接的关系。试题情境低于课标内容要求的试题中，均为容易题。这说明大部分考生对低于课标要求的内容均可以掌握，也说明在高考复习中对基础知识把控较好。

试题情境与课标内容要求完全一致的题目中，容易题占据较大的比重，这些题目的特点是比较熟悉的关联情境，试题均是单元内知识的关联，直接运用数学概念、定理、法则、性质等，也是复习中常见的问题。中等题具有情境较综合的特点，要将知识与数学思想方法相结合解决问题，考查知识的本质，并非是知识简单的应用。但对于第20（1）题，各组考生得分率如表3（采用安格夫法，依据考生2023 年高考数学天津卷的成绩，将考生分为四个水平组，其中G4 精通水平组的分数段为110 分—150 分，G3 熟练水平组的分数段为92 分—109.5 分，G2 基本水平组的分数段为72 分—91.5 分，G1 基本水平以下组的分数段为72 分以下；G5 组为全体考生）。其中G1 和G2 组考生得分非常低，这说明考生求导数没有达到课标的基本要求，因此教学中每个知识点都要评价学生是否达到了课标的要求。在难题中，第18（2）题主要是由于考生未能掌握解析几何的思想方法，特别是将图形关系转化为代数关系的过程考生仍不熟练，达不到课标要求的能力；第19（2）题，主要是由于考生没有理解数列概念的本质；第20（2）题主要是对函数的变形的探究存在问题，即转化与化归思想方法掌握不到位。说明试题情境与课标内容完全一致的题目中，呈现出不同层次的答题结果，这与日常教学中落实深度的把控、难度的调整、复习的导向性、全面性有直接的关系。

表3 全市不同水平组考生第20（1）题的作答概况

试题情境高于课标内容要求的题目中的难题均为函数问题的复杂情境，除知识本身外还要运用特殊与一般、猜想与证明、反证法、构造函数等较高维度的数学思想方法，且问题的数学表达的过程，考生也难以驾驭，致使这些题得分率均低于0.1。这说明，精通水平组的考生对于高于课标内容要求的试题也存在较大的困难，需要在情境的理解、问题的抽象、推理思路的形成以及数学表达等层面再下功夫。

根据考后数据，结合试题所考查的数学核心素养水平与课标要求的一致性，其难度分布如图4。

图4 试题核心素养与课标要求的一致性与试题难度的关系

从该图表不难看出，试题核心素养与课标要求的一致性与考生作答仍具有明显的关系。核心素养低于课标要求的题目均为容易题，说明教师在教学中注重核心素养的基础内容的落实。

核心素养与课标要求一致的题目中，容易题仍占较大的比重，这些核心素的考查较为直接，考生能直接辨析和运用对应的核心素养，这与复习中反复练习是密不可分的。中等难度试题集中在直观想象和数学运算素养上，这说明在教学中，要对学生直观想象素养的要求进一步提炼，要用课标要求定位教学目标，反复评价学生水平并及时调整教学；对于数学运算素养要为学生创设关联的运算情境，让学生意识到运算是解题的基本工具，教学中要让学生在探究运算思路、设计运算程序、总结运算特点上下功夫。难题主要涉及直观想象、逻辑推理和数学运算素养，特别是逻辑推理素养所占比例较大。其中第19（2）题是将多种逻辑推理的方法关联在一起，主要涉及不等关系、不等式的放缩以及数列角标变化等推理，同时还要能用数学语言准确表达。考生此题的得分率如表4。数据表明，考生对于关联的新情境的理解能力较差，无法将逻辑推理的方法综合起来，用数学语言表述论证的能力欠缺。在教学中要经常为考生选择一些较新的情境，让学生自主探究推理思路并尝试用数学符号语言表达，教师可通过“问题导引”的方法为学生搭设“脚手架”，不断提高学会推理论证的能力。

表4 全市不同水平组考生第19（2）题作答概况

核心素养高于课标要求的题目均为难题，甚至得分率低于0.1，这些题目是知识的掌握水平、核心素养认知水平以及数学思想方法的理解应用水平的综合体现。在复杂的情境中，考生在较短时间内很难达到核心素养水平三的要求，这就要求教学中要适当地进行因材施教，有计划有目的地进行拔尖人才培养。

四、基于一致性分析结果的教学与命题建议

（一）教学中的问题情境要依据课程标准的要求设定

一致性的分析结果表明，教学中教师要不断挖掘新课标的教学理念，不断调整、改善自己的教学[5]；要以课程标准中的要求为依据，为学生选择例题、练习以及考试训练题等；要在教学中反复检测学生是否达到课标中的内容要求及核心素养要求，对于不达标的学生，要帮助他们查找问题根源，逐个点位进行落实；要结合课标要求，加强基础知识和基本技能的练习，加强单元内关联知识的结合，加强数学核心素养的培养。有意识地培养学生不断形成数学知识、技能、思想方法和核心素养相融合的分析和解决问题的能力。

根据课标要求要加强基础知识的教学。以课标要求为依据，对相关概念、定理、公式的复习要厘清其脉络，让学生能理解知识的来龙去脉，形成探究知识的基本活动经验和典型题目的解题经验。教材中的例题、习题、复习参考题与课标联系最为密切，要将这些问题弄清弄透，以这些题目为根本，运用变形、嫁接、关联等方法，为学生创设变形的问题情境。

根据课标要求要加强基本技能的练习。教师要把握了解、知道、理解、掌握等不同程度行为动词的含义，教学中有意识地检测学生的解题技能是否达标。特别是对于要求较高的内容，要经历循序渐进的过程，注重学生的参与度，适当采用“点拨总结”“练习体验”“误试”“反思”等方法，让学生亲身经历解题过程，形成基本技能，积累解题技巧和经验。

根据课标要求加强数学思想方法的提炼。学生要达到“数学核心素养水平二”的要求，必须能从数学思想方法的维度分析和解决问题。教学中教师要注重思想方法在解题中的引领作用的总结，深刻体会课标要求的思想方法的层次，有计划、有目的、有载体地让学生在问题情境中分析数学思想方法的表现形式，引导学生尝试从“为何用”“如何用”“由何用”等方面分析数学思想方法。

根据课标要求加强基本活动经验的积累。教学中要让学生经历基本活动经验的形成过程，感知问题解决的一般化方法，通过反思、归纳等过程形成活动经验。教师要经常以课程标准为依据，对基本图形、基本题型、常见条件、常见问题进行提炼，形成基本的解题“模型”。还要以课标中的认知水平为指导，为学生创设检测活动经验的情境，让学生在变化的问题情境中应用经验、提升经验，从而实现活动经验的螺旋式上升。

（二）教学中数学核心素养的培养要具体可行

研究结果显示，试卷完全根据课标中附录部分对核心素养的水平划分，呈现出不同水平的试题。教师一定要精读每个水平的要求，并进行深入的思考，感知每个水平的标准，特别要结合课标中每个知识的要求，梳理出其对应的核心素养水平，教学中有计划有目的地开展活动。每个核心素养培养都要在教学上有抓手，做到具体可行。

数学抽象素养，要让学生自主寻找问题情境所对应的单元，并理解情境的关联意义，这个过程一定要给学生充分的思考与表达的机会，不断提高学生的数学抽象能力。

逻辑推理素养，要让学生逐渐形成分析和论证问题的方法，在条件与结论之间自主搭建“桥梁”，课堂多问学生一些“为什么”，帮助学生形成探索论证的好习惯；要给学生形成论证思路的机会，帮助学生形成由“猜想—证明”的推理方法；要给学生用数学语言表述过程的机会，教师适当示范和引导；还要给学生辨别推理方法优劣的机会，帮助学生分析如何选择一些便捷的方法，例如分析法、反证法等。

数学建模素养，要为学生创设适当的生活情境和数学模型情境，帮助学生总结模型的特点；建立运用数学模型解决问题的方法，特别是对于一些常见的问题，可帮助学生总结出数学模型，让学生在辨析情境特点、运用数学模型的过程中解决问题。

直观想象素养，要让学生体会数形结合的作用，不但从总体上理解数形结合，还要从微观角度分析数形结合的表现形式，例如，要让学生从“为什么可以数形结合，数与形是如何结合的，‘数’的微观性与‘形’的宏观性各起到什么作用”等问题的思考中，提升对数形结合的内涵的理解。

数学运算素养，要让学生体验运算的不同类型以及运算的作用，明晰运算在各单元的表现形式，例如解三角形中的直接运算、转化为方程的运算；基本不等式中数学运算与基本不等式的结合；解析几何中方程及含参的运算；导数问题中函数变形给运算带来的影响等，教学中要时时点拨，让学生体会运算作用及表现。

数据分析素养，要为学生创设梳理数据及事件关系的情境，要将数据分析与数学模型相结合，与生活背景相联系。引导学生建立概率统计单元的知识结构图，明晰概率公式之间的关系，形成由“一维”到“二维”数据的统计解题模型。

（三）教学中要建立因材施教机制

研究结果显示，试卷中仍有部分低于或高于课标要求的试题。这些题目给基本水平以下的学生带来了更多的得分机会，也给精通水平的学生搭建了展示的“舞台”。

从考后数据看，基本水平以下学生在低于课标要求的题目中得分率仍较低，例如第6 题函数图象，该组考生得分率仅有0.34，第10 题复数运算仅为0.68，第11题二项式定理仅为0.58等，说明这类学生还需要在基础知识、基本技能层面多加强指导，核心素养水平定位在了解、知道和会用的水平，即可定位于水平一与水平二之间的层次。

精通水平学生在高于课标要求的试题中表现不佳，如第15、20（3）题，该组得分率仅为0.01，无论是从问题的推理过程还是数学问题解决的一般化观念，抑或是数学解题表达方式，均表现不佳，这也说明在数学拔尖人才培养上存在着不足。

由此看来，在高中数学教学要建立因材施教的机制。对基本水平以下的考生，要降低教学目标要求，以形成最基础、最核心的活动经验为目的，加强基础知识和基本技能的练习。对基本水平的考生，以课标中“水平一”和“水平二”为标准，加强学法指导，教师要经常检测此类考生的水平，帮助学生树立信心。对于熟练水平的考生，其目标定位在课标要求中的“水平二”，应加强变式训练，帮助学生形成知识结构，提高关联情境的分析能力，加强从数学思想方法的角度分析和解决问题的能力。对于精通水平的考生，其目标要定位在“水平二”，但要将该水平中每个问题细致化，使其能充分理解并掌握其技能与方法，特别要在一些陌生的数学表达上要下功夫，提高对陌生且复杂的问题情境的分析能力，其中部分能力强的考生要以核心素养中某些“水平三”的要求作为学习目标，通过适当的练习、反思、探究等活动，提高发现、提出、分析和解决问题的能力。

（四）高考命题应与课标保持高度的一致

根据上述一致性分析发现，2023 年高考数学天津卷与课标的吻合度较强，试卷难度适中，区分度较好。试题中四个主题均涉及不同层次的问题情境，对评价考生的数学核心素养的水平具有一定的意义。从问题情境的复杂性上看，函数主题中复杂问题情境所占比例较大，而且得分率过低，例如第15题的得分率为0.00，第19（2）题的得分率为0.15，建议此类问题以课标要求为依据，适当地降低难度；对于简单问题情境，可将个别题目改为简单且熟悉的关联情境，这样不但能与课标保持更高的一致性，而且能更好地区分考生水平。从数学核心素养维度看，仍缺乏对数学建模素养的考查，建议加强此部分内容的考查；逻辑推理素养仅有简单和复杂的问题情境，缺乏对较复杂的问题情境的考查，而且降低了评价此素养的区分度，建议增加考查逻辑推理的较复杂问题。

总之，2023 年高考数学天津卷与课标具有较高的一致性，数学教学要根据“一致性”的特点，合理为学生选择问题情境，教学中加强引导、提炼与反思，加强基本水平以下学生的帮扶和数学拔尖人才的培养，加强中等生知识的落实与数学核心素养的提高。