以几何直观视角指导学生解决问题的实践研究

2024-01-19潘爱华

辽宁教育·教研版 2024年1期

作者简介：潘爱华，浙江省杭州市临平区育才实验小学一级教师。

摘要：培养几何直观指的是教师引导学生运用图表描述和分析问题，化抽象为形象，把握问题的本质，明晰思维的路径。在教学中培养学生的几何直观，教师可以从以下三個方面入手：一是设计分层点，丰富策略促发展；二是强化训练点，多元体悟图意；三是注重巧妙转化，发展数学思想。

关键词：几何直观；直观表征；数形结合；解决问题

几何直观是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）中提出的一个核心词。学生借助几何直观，有助于建立形与数的联系，分析问题，探索解决问题的思路。几何直观并不局限在几何领域，而是在整个数学学习过程中都起到了重要的作用。几何直观的培养是一个从具体到抽象，由实物到表象的漫长过程，从直观角度来看，可以分为三个维度：一是实物直观，指的是实物层面的几何直观，学生借助数与物之间的关联，进行具体、形象的思考，获得对数的进一步理解。二是符号直观，指的是在实物直观的基础上再进一步抽象形成的直观。三是图表直观，指的是以明确运用图表为载体的几何直观。比如，在遇到比较多的点连成线段时，学生往往容易遗漏，教师在教学时需要引导他们化繁为简，找到规律来解决此类问题。基于此，笔者开展了以几何直观视角指导学生解决问题的实践研究。

一、设计分层点，丰富策略促发展

（一）模仿解决，理解归一，夯实基础

【案例1】尝试用画图的方式整理数学信息并解决问题。

李红买3本错题本花了15元，买7本这样的错题本需要多少钱？

考虑到学生刚刚学习归一问题，教师此时可以先模仿例题设计相关的问题，引导学生借助画图分析问题，理解归一问题的数量关系，获得解决问题的经验。

（二）延伸比较，求同存异，凸显本质

【案例2】先解决问题，再比较异同。

1.一本书李华4天看了12页，照这样的速度，他10天可以看多少页？

2.一本书李华4天看了12页，照这样的速度，90页他需要看多少天？

这一层次的练习不仅需要解决问题，更重要的是引导学生通过比较发现异同，认识到：不变的是先求每天看的页数，变的是第1题求10天看的页数，应该用乘法解决；第二题求90页看了几天，应该用除法解决。这样，教师可以帮助学生建立含有归一数量关系问题的模型，从而帮助学生掌握正确的解决问题的方法。

（三）拓展提升，丰富策略，促进发展

【案例3】你能用不同的方法解决下面这些问题吗？请试一试。

如图1，如果阴影部分表示20，那么长方形表示多少？

如表1，王叔叔每天生产的零件个数相同，那么，他8天生产多少零件？

以数形结合的方式呈现含有归一数量关系的问题对学生来说是有挑战性的，他们先要读懂图意，再根据图意分析、理解数量关系，最后用不同的方法解决问题，体现策略的多样化。这样分层化的练习，使不同层次学生的思维都得到发展。

二、强化训练点，多元体悟图意

运用画图策略解题时，需要教师采用多种方式精心组织学生训练，引导学生置身于具体的学习素材中，通过多种形式体悟图意，逐步养成“心中有图、见题想图”的思维习惯。

（一）结构化图式

1.一题结构多图

教师可以引导学生把一个问题用多个图来表征，找出相同点，进行深入思考，在此过程中发现本质特征。教学中常用的示意图有点子图、积木图小立方体图、小棒图、方格图、计数器图、算盘图、靶子图、人民币图，等等。

【案例4】 “千以内数的认识”教学片段

请你用不同的图来表示235。

讨论：对比这几种方法，说一说它们之间的联系。

以上5种图，虽然种类不一样，但是表示的数都是235。教师通过不同的图让学生体验到235是由2个百、3个十和5个一组成的这一本质特征，清晰地了解了计数单位一、十、百……的优点；帮助学生将计数单位与具体的形状联系起来，使学生在头脑中形成数的概念，也促进了数学活动经验的提升，为后续学习大数积累经验。

2.多题结构一图

教师可以对数量关系相同的问题进行结构化，引导学生把同一类问题整合到一幅图中加以思考，理解这类问题的数量关系，找到解决方法。

【案例5】“倍”教学片段

一本笔记本6元，4本笔记本多少元？一个小组8人，4个小组多少人？文具盒25元，书包的价格是文具盒的4倍。书包的价格是多少元？4个9是多少？请用图表示以上问题。

学生画出各种各样含有4倍关系的图，通过比较发现，这四个问题可以用同一幅图来表示。“不论数据的大小和线段的长短，只要两个量具有4倍关系”这一本质特征，为学生构建了倍数关系的直观模型。

（二）分层化图式

学生解决问题是一个主动的、复杂的认识过程，也是从具体到抽象的过程。为此，在画图过程中，教师要发挥主导作用，引导学生把信息分层图示化，厘清数量关系，促进问题解决，生成高阶思维。

【案例6】“乘法的初步认识”教学片段

用图表示3 × 5，学生作品如下。

方法1：○○○ ○○○ ○○○ ○○○

○○○ 5个3

方法2：○○○○○ ○○○○○

○○○○○ 3个5

方法3：○○○○○

○○○○○ → 横着看表示 3个5

○○○○○ ↓ 竖着看表示 5个3

方法4： <E：＼2023田田＼1-23＼辽宁教育·教研版202401＼LJ24-1-8.psd>[3][3][5][b][a]

这4个方法都能表示3 × 5，但方法3能把乘法的两种意义在同一幅图中表达出来；方法4借助长方形图表示，将数与形完美结合，为后续学习长方形面积做好了铺垫，思维层次更高。

（三）系统化图式

在問题解决中，针对例题，教师可以设计一些开放题，让学生通过归类、整理，用系统化的图示表征出来，以便于使知识变得系统化。

【案例7】“集合”教学片段

三年级（1）班如果有4人喜欢跳远，6人喜欢跑步，那么喜欢跳远和跑步的同学一共可能有多少人？先画图，再列式计算。学生通过画图整理发现有5种可能。

[○○○○][○○○○○○]

4 + 6 = 10（人）

[○○○][○○○○○] [○]

4 + 6 - 1 = 9（人）

[○○][○○○○] [○○]

4 + 6 - 2 = 8（人）

[○][○○○] [○○○]

4 + 6 - 3 = 7（人）

[○○] [○○○○]

4 + 6 - 4 = 6（人）

在画集合图的过程中，学生进一步理解了中间重叠部分是两部分共有的，其他部分是独有的。此题通过逆向思维，让学生根据所给的数据，推测出各种可能，在一道题中解决了并集、交集等多种情况，理解了包含、不包含之间的关系，帮助学生对集合的认识提高了一个层次，提升了学生的系统化思维。

三、注重巧妙转化，发展数学思想

几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、可视化，有助于培养学生的数学直观领悟能力。在教学中，教师需要注重数与形的巧妙转化，寻找构建数学问题的直观模型，发展学生的数学思想。

（一）图象与概念对应，发展推理思想

推理是数学的一种基本思想，也是数学直观的精髓。几何直观的教学，不仅只是用图表直观表征数学知识，更重要的是寻找图象与概念之间的对应关系，鼓励学生主动尝试分析、想象、推理、验证，进而洞察数学对象的本质特征，获得数学结论。

【案例8】“商不变的性质”教学片段

1.以情境激发兴趣

创设情境：老师把4个草莓平均分给2个小朋友，每个小朋友分几个？老师把40个草莓平均分给20个小朋友，每个小朋友分几个？老师把400个草莓平均分给200个小朋友，每个小朋友分几个？

教师先请学生列式计算，再观察发现了什么。学生发现，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

2.在坐标图上找算式

文具店有一种彩带的销售情况如下页图2所示。

图上的每个点表示什么意思？请你找到商不变的算式写下来，至少写三个。比较三组算式，发现商不变的规律。连接图中的点，你发现了什么？

在教学中，教师在分草莓之后，先引导学生初步认识商不变的性质。接着，教师借助直观图，引导学生进一步认识商不变的性质。然后，教师引导学生观察坐标图中的点，寻找商不变的算式，从而构建了商与点的对应关系。最后，学生将表示商的点连接起来，发现了商不变性质的图象。学生在建立图象与概念的对应关系时，经历了观察、比较与推理，发展了推理的基本数学思想。

（二）巧妙运用，深化模型思想

在数学教学中，当学生遇到学习困难时，教师需要引导学生往前探一探，转化成以前学过的知识，让他们由浅入深，在自主探究、合作交流中发现数学规律，初步形成模型观念，提高解决问题的能力。

【案例9】 “乘法分配律”教学片段

“乘法分配律”一直是教学中的难点，笔者在执教时，引领学生往前探一探，回忆以前学过的长方形周长的计算方法，引导学生用小棒摆一摆，说一说。学生根据长方形周长的计算方法，小棒的摆放情况如图3。

学生感悟到摆小棒的方法，即“分配”的过程。

1.找一找，之前遇到的乘法分配律

教师引导学生先回顾一年级学习的减法口算，二年级学习的乘法口诀，三年级学习的乘法口算，四年级学习的行程问题，观察并发现乘法分配律。

2.算一算，你发现了什么

C级题：学校花坛的左边摆了3行月季花，每行有6盆，右边摆了3行菊花，每行有4盆，一共摆放了多少盆花？

先画图再计算。

○○○○○○ ○○○○

B级题：一块长方形菜地，长25米，宽8米，现在新开垦后菜地的宽延长2米，长不变，开垦后的新菜地面积有多大？