张 慧，蒋佳锟，鲜楚逸，4，陈钉均

（1.西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 610031；2.西南交通大学 综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，四川 成都 610031；3.西南交通大学 综合交通大数据应用技术国家工程实验室，四川 成都 610031；4.四川省城乡建设研究院 市政建设研究所，四川 成都 610041）

0 引言

混合交路指线路上两条或多条交路并存，不同交路共用轨道某一区段，是城市轨道交通行车组织的新模式。相比单一交路，当线路里程较长、客流分布不均时，混合交路通过合理可行的交路组合安排列车输送能力，达到充分利用设备设施资源的目的。目前混合交路运营线路多采用固定开行比例的交路计划和均匀发车间隔的时刻表，运力供给不能满足时变客流需求。基于混合交路模式下乘客路径选择行为，研究混合交路模式下城市轨道交通交路计划与时刻表综合优化，有助于提升运输能力对于客流的适应性，防止客流拥挤推攘引发的安全事故，降低列车空跑导致的运营亏损。

城市轨道交通交路计划优化包含折返站及交路开行列车比例优化。梁强升等[1]分析Y 型线分支段的运能分配、行车进路的安全风险及客运组织的管理难点，综合比选交路折返站；李得伟等[2-3]以Y型线列车交路的组合优化问题为导向，建立考虑乘客对直达列车偏好的列车交路计划编制模型；刘猛等[4-5]以乘客出行时间最小为目标函数，考虑列车满载率、最小追踪间隔、折返站能力、运用车数量等约束，构建Y型线折返站优化模型；Yang等[6]提出一种跨站停车及跨线行车结合的复杂运营方式，实现停站方案及交路计划的综合优化；方开莎等[7]以乘客等待时间、车辆走行公里和列车运行时间最小化为目标，在列车编组可变前提下构建多目标大小交路开行方案，以均衡乘客等待时间和城市轨道交通运营企业效益。

城市轨道交通时刻表优化包括行车间隔优化、折返能力优化、区间运行时分及停站时分优化等，优化内容不同，建模方式也不同。戚建国[8]分析列车时刻表、停站方案和旅客需求之间的内在关联，构建满足旅客需求的列车时刻表与停站方案协同优化的混合整数线性规划模型；谭丽等[9]调整列车开行频率，针对输送能力与客流需求匹配度，建立Y型交路模式下列车开行方案优化模型；吴婷婷[10]研究列车在换乘站的协同接续优化，构建以路网内全体旅客换乘等待总时间最小化为目标的城市轨道交通列车开行方案与运行图一体化编制模型；Högdahl等[11]优化均匀发车间隔的时刻表，最小化计划出行时间及期望延误，提升运输服务的快捷性和可靠度；Wang 等[12]研究动态客流条件下的列车时刻表及车底运用的协同问题，并提出迭代非线性规划、等效多约束线性规划、近似多约束线性规划3 种解决方法；Zhou 等[13]以减少乘客延误、总旅行时间和列车运行成本为目标函数，提出不确定客流需求下列车节能调度的近似动态规划方法；Yin 等[14]同时考虑列车运行速度的选择和车站客流的动态需求，提出一种以运行能耗及乘客候车时间最小化为目标的时刻表优化方法；段凌林等[15]以乘客出行成本与企业运营成本最小为目标，考虑列车停站时间与客流需求的关系，在大小交路模式的基础上引入快慢车模式，优化开行方案。

既有的研究均是假定不同交路列车的发车频率存在倍数关系，或设定单位时段内(往往为1 h及以上)列车的发车间隔一致，这在一定程度上影响了运输能力对时变客流的适应性。为提升运输能力对时变客流的适应性，研究构建混合交路模式下基于乘客行为差异性的城市轨道交通交路计划及时刻表综合优化模型，为实现城市轨道交通高品质的快捷运输服务提供参考。

1 问题分析及说明

基于复杂交路运营线路，根据分时段客流OD需求，选择非固定开行比例的交路计划和灵活发车间隔的时刻表，以满载率均衡度为目标函数，以停站关系、服务水平、到发时刻、行车间隔、满载率为约束条件，构建混合交路模式下交路计划及时刻表综合优化模型，并设计分层优化算法求解。符号说明如表1所示。

表1 符号说明Tab.1 Symbols

2 模型构建

2.1 目标函数

混合交路模式下交路计划与时刻表综合优化，实质是根据分时段客流OD 数据，调整交路列车开行比例及行车间隔，达到满载率均衡度最优的过程。为使乘客需求与运力供给的比值保持在稳定区间，选择列车满载率均衡度(方差)fload_var作为目标函数。

2.2 约束条件

2.2.1 停站关系约束

任意一列车只能选择一个交路，则有

列车只能在所选交路包含的车站停站，则有

2.2.2 服务水平约束

对于非固定开行比例的混合交路运营线路，相邻列车车次编号难以形成周期性规律，为解决相邻列车搜索问题，引入停站变量εk，i及服务水平参数Nsvc，停站变量εk，i表示列车k是否在车站Si进行乘降作业，服务水平参数Nsvc表示两相同子交路列车间最多间隔Nsvc-1 列其他子交路列车，即当Nsvc-1辆列车未开行此交路时，为避免该分支段的乘客候车时间过长，保证服务水平，下一趟开行列车就必须是相同子交路的列车，即

2.2.3 到发时间约束

列车在车站的发车时间应满足约束

列车区间运行时间应满足约束

2.2.4 行车间隔约束

行车间隔约束为

对于共线段有

对于分支段有

2.2.5 满载率约束

满载率是直接影响乘客舒适度的指标，如果满载率过高，拥挤的车厢会降低乘客的舒适度，导致乘客出行体验较差，因此应当对满载率进行限制。

利用车站到站人数求得客流到达率，再积分求得客流乘降人数，通过乘降人数差值求得列车实载人数，进而求得满载率。

（1）客流到达率。处理乘客进出站AFC 数据，得到OD为i，j的到站人数关于时间的分段函数为

则观测时段内OD 为i，j的乘客的到达率φi，j(t)可以表示为

（2）客流乘降人数。客流乘降包括站台客流上车及在乘客流下车。一般城市轨道交通线路默认乘客选择自身到达站台后的首辆到站列车，而混合交路运营线路的部分区段是多交路套跑，乘客需要甄别进站列车的行驶方向，因此乘客选择的是自身到达站台后的首辆去往目的站的到站列车，研究引入乘降变量εk，i，j来判别候车乘客的乘车选择。εk，i，j表示列车k与车站Si，Sj的停站关系，同时也表示OD为i，j的乘客与列车k的选择关系，只有当列车k既在车站Si停站又在车站Sj停站，OD为i，j的乘客才会选择该列车。需要说明的是，在处理客流数据时，以换乘点为切割点将换乘客流等效成2段直达客流。

设定同时在车站Si及Sy停站的列车为“目标方向列车”，则每当目标方向列车到站，OD为i，y的候车乘客就进行一次清空，因此上车人数实际是目标方向列车离站间隔［dk'，i，dk，i］内，站台积累的到站人数，k’，k为相邻“目标方向列车”的编号。

那么，列车k在车站Si的上车人数Lboardk，i可以表示为

列车k在车站si的下车人数可以表示为

列车k在车站si的实载人数Lk，i为

用Ctrain表示列车的定员人数，则列车k在车站si的满载率μk，i可以表示为

3 分层优化算法

3.1 算法选择

由上述建模过程可知，混合交路模式下交路计划与时刻表综合优化模型为混合非线性规划模型，可以采用分支切割算法求解。分支切割算法在每一步换基迭代过程中，需要进行大量的矩阵运算，而每一次迭代只可能有一个变量引入基内，因此存在非直接运算，约束条件越多，引入的松弛变量也越多，间接计算量就越大，因而求解效率低。针对该问题，采取以下2种求解策略。

（1）分层优化策略。优化模型的决策变量主要分为2 类：第一类为交路计划变量，包括停站变量εk，i及交路变量λk，l，用于确定不同交路列车在共线段的运行顺序及停靠车站；第二类为时刻表变量，包括离站时刻dk，i及到站时刻ak，i，用于确定各列车的到发时刻。针对模型特性，设计分层优化方法，外层采用禁忌搜索(TS)算法获得较优的交路计划，内层采用分支切割算法获得交路计划对应的列车时刻表，逐层减少约束数量、缩小搜索空间。

（2）约束线性化策略。由于计算满载率时使用了积分函数，在提取交路计划变量后，内层模型依然包含非线性约束，难以直接用分支切割算法求解。然而，积分中被积函数客流到达率φi，j(t)是一个分段函数，且分段的区间长度均为T，因此可以将该积分函数转化为线性表达式。方法如下。

假设列车k到达车站si前，OD 为i，j的乘客的候车人数为

式中：dk'，i，dk，i分别为列车k'，k在车站si的离站时刻，k'为k在该目标方向上相邻列车的编号。

定义0-1 变量αk，i，t表示列车k在车站si的离站时刻是否在时间段)[t，t+T内，公式为

根据定义，αk，i，t满足约束为

且定义变量βk，i，t=αk，i，tdk，i，满足约束为

至此，完成非线性表达式向线性表达式的转化。

3.2 算法设计

求解混合交路模式下交路计划与时刻表综合优化模型的算法基本步骤如下。

步骤2：生成当前解Γnowroute的Γnowroute个邻居对应的邻居产生方式为{moveneb，1，moveneb，2，…，moveneb，Nneb}，movebest=∅，令i=1。

步骤4：判断movenow∉H是否成立，如果成立，转步骤5，如果不成立，转步骤6。

步骤5：判断fnow≤fbest是否成立，如果fnow≤fbest成立，令fbest=fnow，movebest=movenow，转步骤6；如果fnow≤fbest不成立，直接转步骤6。

步骤6：判断i≤Nneb是否成立，如果成立，转步骤3，如果不成立，转步骤7。

步骤7：判断TS算法的终止条件是否满足，如果满足，转步骤8，如果不满足，将movebest加入禁忌表H，转步骤2。

步骤8：输出结果。

各交路轮流发车的运行顺序可以较好地平衡乘客候车时间及列车满载率，因此选择其作为初始解。同时，在邻域生成函数上选择了突变，即搜索找到满载率最大的列车，随机更换其交路，从而构成新的交路选择解。最后，选择了迭代指定步数的终止规则。

4 算例分析

选取开行3 条子交路的复杂交路运营线路，对混合交路模式下交路计划及时刻表综合优化模型进行算例分析。比较优化前后线路的满载率均衡度，验证模型的有效性，设置不同的列车总开行数，测试模型的通用性，调节旅行时间节省值的临界点，说明交路换乘的意义。

4.1 基础数据

4.1.1 线路条件

某城市轨道交通线路A为一条混合交路运营线路，该线穿城而过，连接着城市市郊区与中心区。A线线路如图1所示。A线共21站，其中车站8至车站12为共线段，车站1至车站8、车站12至车站17、车站12 至车站21 为分支段。A 线共3 条交路，即R={r1，r2，r3}，A线交路如图2所示。

图2 A线交路Fig.2 Route of Line A

具有折返能力的车站共4个，包括车站1、车站8、车站17及车站21。3条交路途经的车站分别为

数据观测时间设置为7：00—11：30，共分为18 个时间段，以秒为单位，每段的时间长度为900 s，则观测时段依次为[0，900 )，[900， 1800 )，…，[ 15300， 162000 )。观测时段内客流OD 总数如图3所示。列车区间运行时分如表2 所示。列车停站时分如表3所示。

图3 观测时段内客流OD总数Fig.3 Total number of passenger flow OD during observation period

表2 列车区间运行时分sTab.2 Running time of train intervals

表3 列车停站时分sTab.3 Stop time of station

4.1.2 参数设置

外层算法的决策变量为交路变量λk，l，λk，l为0-1 变量，用于分配列车交路；内层算法的决策变量为离站时刻dk，i和到站时刻ak，i，线性化算子αk，i，ta和βk，i，t，dk，i和ak，i用于确定列车到发时刻，αk，i，t及βk，i，t用于转化非线性约束，其中αk，i，t为0-1 变量，其余为实值变量。算例中所有变量都为非负整数，该模型为混合整数非线性规划模型。参数设置如表4所示。

表4 参数设置Tab.4 Parameter setting

由于相邻列车的车次编号不确定，为计算行车间隔及满载率，在优化列车前后各设置6列虚拟列车，编号为{-5，-4，-3，-2，-1，0}及{51，52，53，54，55，56}，其中列车0 及列车51 的停站变量全部为1，即εk，i=1，k=0或51，∀i∈ids，并设置d0，1=0，d51，1= 16200作为发车时间基准。

4.2 优化结果分析

4.2.1 结果分析

为了验证模型的优化效果，将固定开行比例均匀发车间隔、非固定开行比例均匀发车间隔、非固定开行比例灵活发车间隔的时刻表进行比较。时刻表比较如图4所示。图4a为优化前时刻表，3条交路轮流发车，r1∶r2∶r3=16∶17∶17，行车间隔为5 min20 s；图4b 为仅优化交路计划得到的时刻表，优化后r1∶r2∶r3=14∶18∶18，小交路r3数量增加；图4c为综合优化交路计划及时刻表得到的时刻表，优化后r1∶r2∶r3=16∶17∶17，小交路r3数量未变。

将各时刻表对应的满载率相关指标进行比较，不同运营计划类型满载率相关指标如表5 所示。可以看出，综合优化后，相比优化前满载率最大值下降0.397，满载率均衡度(方差)下降15.5%，相比部分优化满载率最大值下降0.320，满载率均衡度下降7.8%。

表5 不同运营计划类型满载率相关指标Tab.5 Indicators for full load rates of different operation plans

将各时刻表对应的区间满载率进行比较，满载率比较如图5所示。优化前时刻表图5a满载率大于80%的区间18个，大于90%的区间8个；仅优化交路计划时刻表图5b 满载率大于80%的区间13 个，大于90%的区间6个，优化效果为27.8%及25%；综合优化时刻表图5c满载率大于80%的区间0个，优化效果100%。可以发现，综合优化可以根据客流需求的方向及数量，相应调整列车的开行交路及行车间隔，达到运力与需求的匹配，因而优化效果较好。

图5 优化后满载率比较Fig.5 Comparison of full load rates

4.2.2 列车开行数量影响分析

为了验证模型的通用性，将列车开行总列数分别设置为45，50和60，得到综合优化后的时刻表，优化后时刻表比较如图6 所示。将各时刻表对应的区间满载率进行比较，优化后满载率比较如图7所示。

图6 优化后时刻表比较Fig.6 Comparison of timetables

图7 优化后满载率比较Fig.7 Comparison of full load rates

将各时刻表对应的满载率指标进行比较，不同总开行列数满载率指标比较如表6 所示。比较不同总开行列数下的满载率，可以明显看到随着线路运力增加，满载率最大值及均衡度都在减小，同时随着列车数量增加，交路计划及时刻表优化的灵活度也增加，在均衡度最小化的目标下，满载率最小值甚至有小幅度提升。

表6 不同总开行列数满载率指标比较Tab.6 Indicators for full load rates of different number of operation trains

5 结束语

在城市轨道交通行车组织多样化背景下，为提升运输能力对于时变客流的适应性，实现高品质的快捷运输服务，以混合交路运营线路为研究对象，围绕交路计划及时刻表综合优化。结果表明，相较于传统的固定开行比例的交路计划、均匀发车间隔的时刻表，非固定开行比例、灵活发车间隔的交路计划及时刻表对时变客流的适应性更好，运输能力更大。通过分层优化算法，对原问题求解更加便捷，外层采用禁忌搜索获得较优的交路计划，内层采用分支切割算法获得交路计划对应的列车时刻表，逐层减少约束数量，提升大规模混合整数非线性规划模型的求解速度。